图3-6
分析与解根据日常我们学习生活的经验，我们在倾斜桌面上放一枝六棱柱形铅笔，当笔杆垂直于斜面母线时，最不易滚下来而会先发生滑动．事实上，当放置在斜面上的铅笔恰能处于平衡时，必有ｍｇｓｉｎα＝ｆ＝μｍｇｃｏｓα，式中f为最大静摩擦力，ｍ为铅笔质量．则μ＝ｔａｎα，即静摩擦因数恰等于斜面倾角的正切值．若μ＞ｔａｎα，放置在斜面上的笔无论以怎样的φ角放置，总不会因发生滑动而破坏平衡． 但是，还有一个向下滚动的问题存在．就“稳度”而言，当φ角为某一临界值φ下来．现在来求这个φ0角．
如图3-７所示，阴影部分表示笔与桌接触面，正六边形表示笔的横截面，C为铅笔的质心，它在斜面上的投影为O，重力作用线从接触面A“擦边而过”．由图示几何关系可知：ＯＣ＝ａｓｉｎ６０°，ａ为正六边形边长，ＯＢ＝(ａ/２)，∠ＡＣＯ＝α，∠ＢＯＡ＝φ0（注意：ＯＡ垂直于母线，OB垂直于棱线)，在临界状态下(ＯＢ/ｃｏｓφ0)＝ＯＣｔａｎα，故φ0＝ａｒｃｃｏｓ[(１/
)ｃｏｔα]．
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时，重力作用线超出斜面对铅笔的支持面，则铅笔会在重力矩作用下离开原平衡位置而滚
图3－7
只要重力作用线落在阴影区内，即有
(ａ/２ｃｏｓφ)≥ａｓｉｎ６０°ｔａｎα，
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ｃｏｓφ≤(１/)ｃｏｔα
笔就不会滚动，故放置笔时，应使铅笔的轴与斜面母线所成的角φ＞ａｒｃｃｏｓ[(１/
)ｃｏｔα]．
例4如图3-８所示，建造屋顶边缘时，用长度为Ｌ的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的(1/8)，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?这样的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长?
图3-８
分析与解一块砖的重心就在(Ｌ/２)处，叠放一块砖后，由于伸出(Ｌ/８)，两砖总长(９/８)Ｌ，共同重心在总长的一半处．设有ｎ块相同砖叠放，每块均伸出(Ｌ/８)，则总长为Ｌ＋（ｎ－１）(Ｌ/８)，而总重心在总长度的中间．要使飞檐平衡，ｎ块砖所受总重力作用线不能超出墙壁的支面，即
(Ｌ/２)［Ｌ＋（ｎ－１）(Ｌ/８)］≤(7/８)Ｌ，故ｎ≤７．
图3-９
如图3-９所示，最上面第1块砖要处于平衡而不翻倒，它的重力作用线不能超出其下第2块砖的边线，所以第1块砖能伸出的最大长度为(Ｌ/２)；第1块砖和第2块砖合在一起总长度为(３Ｌ/２)，重心在中间，即距第2块砖边线(Ｌ/４)，第2块砖放在第3块砖上时最多伸出(Ｌ/４)．现在来看三块砖的重心位置：设三块砖重心C3距第3块砖边缘
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ｘ，由力矩平衡关系知2Ｇｘ＝Ｇ（(Ｌ/２)－ｘ），解得ｘ＝(Ｌ/６)，所以第3块砖只能比下一块砖边线伸出(Ｌ/６)，不难递推，第ｎ块砖伸出量的通式是ｘn＝Ｌ/(２ｎ)，那么七块砖均以最大量伸出，“七级飞檐”最多能飞出的长度为s＝(１＋(１/２)＋(１/３)＋?＋(１/７)）(Ｌ/２)．
小试身手
１．如图3-１０所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动，它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的（）
图3-10
２．图3-１１中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线连接起来，问每一种情况各属哪种平衡?
图3-11
３．如图3-１２所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为ｌ的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为ｍ的小球而组成．木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为α，此装置放在硬质木柱上，则ｌ、Ｌ、α间应当满足______________关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置能以O点为支点摆动而不致倾倒．
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图3-12
图3-13
４．如图3-13所示，长度为2Ｌ、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式y（ｘ）(杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内)．
５．如图3-１４所示，两个质量分别为ｍ1和ｍ2的小环能沿着一光滑的轻绳滑动．绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度θ．在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使ｍ1、ｍ2在其两边．设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角为φ．试证：ｔａｎθ/ｔａｎφ＝(ｍ2－ｍ1)/(ｍ1＋ｍ2)．
图3-１４
图3-１５
６．一根质量为ｍ的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动，如图3-１５所示．有两根水平弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数ｋ为何值时才能使杆处于稳定平衡?
７．如图3-１６所示，一块厚ｄ的木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的摩擦因数为μ．试求板可以处于稳定平衡状态的条件．
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