微积分(数学分析)练习题及答案doc

浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷

zx??Fx2x?3yz??. Fz2z?3xy于是求得

fx(x,y(z,x),z)?f1?f2yx?y2z3?2xyz3yx2xyz3(2x?3yz)

?yz?,2y?3xz23fx(x,y,z(x,y))?f1?f3zx?y2z3?3xy2z2zx3xy2z2(2x?3yz)

?yz?.2z?3xy23并且有

fx(1,y(1,1),1)??1, fx(1,1,z(1,1))??2.

18. 解: 首先，F(P0)?G(p0)?0,即P0满足初始条件. 再求出F，G的所有一阶偏导数

Fx??2x,Fy??1,Fu?2u,Fv?2v, Gx??y,Gy??x,Gu??1,Gv?1.

容易验算，在点P0处的所有六个雅可比行列式中只有

?(F,G)?(x,v)Fx?GxFvGv?44??0. ?11P0P0因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数. 除此之外，在P0的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.

如果我们想求得x?x(u,v),y?y(u,v)的偏导数，只需对方程组分别关于u,v求偏导数，得到

?2u?2xxu?yu?0, ? （1）

?1?yx?xy?0,uu?页脚内容13

浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷

?2v?2xxv?yv?0, （2） ??1?xyv?yxv?0.由（1）解出

xu?2xu?12x?2yu,y??. u222x?y2x?y由（2）解出

xv?2xv?12x?2yv,y??. v2x2?y2x2?y19. 解: 设

F(x,y,u,v)?u2?v2?x2?y2?1,

G(x,y,u,v)?u?v?xy.

(1) F,G关于u,v的雅可比行列式是

?(F,G)2u2v???2(u?v), 1?1?(u,v)当u??v时, 在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定u,v是x,y的可微函数;

(2) F,G关于x,u的雅可比行列式是

?(F,G)2x2u??2(x?uy), y1?(x,u)当x?uy时, 在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定x,u是y,v的可微函数.

20. 解: 设 F(x,y,z)?x2?y2?z2?50，G(x,y,z)?x2?y2?z2. 它们在(3, 4, 5)处的偏导数和雅可比

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浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷

行列式之值为：

?F?F?F?8, ?6, ?10, ?y?x?z?G?G?G?8, ?6, ??10, ?y?x?z和

?(F,G)?(F,G)?(F,G)?120， ??160， ?0.

?(y,z)?(x,y)?(z,x)所以曲线在(3, 4, 5)处的切线方程为：

x?3y?4z?5， ???1601200即

?3(x?3)?4(y?4)?0, ??z?5. 法平面方程为

?4(x?3)?3(y?4)?0(z?5)?0， 即

4x?3y?0.

21. 解: 令F(x,y,z)?ez?z?xy?3, 则

Fx(x,y,z)?y, Fy(x,y,z)?x, Fz(x,y,z)?ez?1,

故Fx?1, Fy?2, Fz?0, 因此曲面在点M0(2,1,0)处的法向量为

rn?(1,2,0),

M0M0M0页脚内容15

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所求切平面方程为

1?(x?2)?2?(y?1)?0,

即

x?2y?4?0.

法线方程为

?x?2y?1?,?2 ?1?z?0,?即

?2x?y?3?0, ?z?0,?22. 解: 这个问题实质上就是要求函数

f(x,y,z)?x2?y2?z2（空间点(x,y,z)到原点(0,0,0)的距离函数的平方）

在条件x2?y2?z?0及x?y?z?1?0下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令

L(x,y,z,?,?)?x2?y2?z2???x2?y2?z????x?y?z?1?.

对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有

?Lx?2x?2x????0,?L?2y?2y????0,y???Lz?2z?????0, ?L?x2?y2?z?0,????L??x?y?z?1?0.求得这方程组的解为

???3?5113,???7?3, 33页脚内容16