2007年复变函数与积分变换试题及解答（B卷）

2007～2008学年第一学期

《复变函数与积分变换》课程考试试卷(B卷)

院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________

考试日期: 年 月 日 考试时间: 0:00~0:00

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 评卷人 一、选择题 (每题2分，共20分)

?3?4i?1、复数 ??的模为 ( )

1?2i??2A. 5； B. 55； C. 5．

2、复数 ?1?3i 的主辐角为 ( )

A. arctan3； B. arctan3??； C. arctan3??． 3、|z?i|?|z?i| 所表示的平面区域为 ( )

A. 上半平面； B. 下半平面； C. 单位圆的内部． 4、Ln(?1) 的值为 ( )

A. (2k?1)?i； B. 2k?i； C. 无意义． 5、方程 z2?2i?0 的根为 ( ) A. z1?1?i,z2??1?i； B. z1?1?i,z2??1?i； C. z1?1?i,z2?1?i．

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6、函数 f(z)?2xy?ix2 ( )

A. 处处可导； B. 仅在y?0上可导； C. 处处不可导． 7、设 f(z)?2xy?i(y2?x2)，则 f?(z)? ( ) A. 2x?2yi； B. 2y?2xi； C. 2x?2yi． 8、级数

?n?1??(?1)ni ( ) nA. 绝对收敛； B. 条件收敛； C. 发散． 9、z?0 是函数 f(z)?sinz 的 ( ) z2A. 可去奇点； B. 二阶极点； C. 一阶极点． 10、区域 D?{z:0?Imz??} 在映射 w?ez 下的像为 ( ) A. 单位圆的内部； B. 下半平面； C. 上半平面．

得 分 评卷人 二、填空题 (每题2分，共10分)

1、函数 f(z)?1 在 z?i 点展开成泰勒 (Taylor) 级数的

(z?1)(z?2)收敛半径为 ． 2、积分

?|z|?4sinzdz? ．

(z??)23、映射 f(z)?z2?4z 在 z??1?i 处的旋转角为 . 4、函数 f(t)?cos2t 的Fourier变换为 F(?)? . 5、函数 F(s)?1 的Laplace逆变换为f(t)? . s(s?1) 第 2 页 / 共 6 页

得 分 评卷人

三、计算题 (每题5分，共20分)

1、2、3、4、

??|z|?2sin2zdz 2z(z?1)z3cos1dz z|z|?2??????2?cosxdx 2x?41d?

5?4sin?

0得 分 评卷人 四、(12分)已知调和函数 u(x,y)?x2?y2?2xy，

求函数 v(x,y)，使函数 f(z)?u?iv 解析且 满足 f(i)??1?i．

1在z?0点

(z?1)(z?2)

得 分 评卷人 得 分 评卷人 得 分 评卷人 五、(12分)将函数f(z)?

展开为洛朗 (Laurent) 级数．

六、(14分)求把区域 D?{z:|z|?1,Imz?0}

映射到单位圆内部的共形映射．

七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程组：

??x?(t)?y(t)?1,x(0)?0, ???x(t)?y?(t)?t,y(0)?1.2007～2008学年第一学期

《复变函数与积分变换》课程考试试卷(B卷)解答

院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________

考试日期: 年 月 日 考试时间: 0:00~0:00

题号

一 二 三 四 五 六 七 总分 第 3 页 / 共 6 页

得分 得 分 评卷人 一、选择题 (每题2分，共20分)

?3?4i?1、复数 ??的模为 ( C )

1?2i??2A. 5； B. 55； C. 5．

2、复数 ?1?3i 的主辐角为 ( C )

A. arctan3； B. arctan3??； C. arctan3??． 3、|z?i|?|z?i| 所表示的平面区域为 ( A )

A. 上半平面； B. 下半平面； C. 单位圆的内部． 4、Ln(?1) 的值为 ( A )

A. (2k?1)?i； B. 2k?i； C. 无意义． 5、方程 z2?2i?0 的根为 ( A ) A. z1?1?i,z2??1?i； B. z1?1?i,z2??1?i； C. z1?1?i,z2?1?i． 6、函数 f(z)?2xy?ix2 ( B )

A. 处处可导； B. 仅在y?0上可导； C. 处处不可导． 7、设 f(z)?2xy?i(y2?x2)，则 f?(z)? ( B ) A. 2x?2yi； B. 2y?2xi； C. 2x?2yi．

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