§4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
2014高考会这样考 1.考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式．
复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图，抓住函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的特征；2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点． 如下表所示.
x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2A π－φ ωπ 0 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：
3．图象的对称性
函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： π
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图
2形．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形． [难点正本 疑点清源] 1．作图时应注意的两点
(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就
可根据周期性作出整个函数的图象． 2．图象变换的两种方法的区别
由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变|φ|
换)再平移变换，平移的量是个单位．
ω
ππ
x＋φ? (|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周1．已知简谐运动f(x)＝2sin??3?2期T和初相φ分别为__________． π
答案 6，
6
1π
解析 由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝，又|φ|<，
22π?π
得φ＝；而此函数的最小正周期为T＝2π÷??3?＝6. 6
2．(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ( )
答案 A
解析 y＝cos 2x＋1―――――→ 纵坐标不变y＝cos x＋1――――――――→
y＝cos(x＋1)＋1――――――――→y＝cos(x＋1)． 结合选项可知应选A.
向下平移1个单位长度向左平移1个单位长度
横坐标伸长2倍
π
3．(2011·大纲全国)设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，
3所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 1A. 3答案 C
π2ππ
解析 由题意可知，nT＝ (n∈N*)，∴n·＝ (n∈N*)，∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n
3ω3＝1时，ω取得最小值6.
ππ
5x－?的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩4．把函数y＝sin?2??41
短为原来的，所得的函数解析式为
23π
10x－? A．y＝sin?4??3π
10x－? C．y＝sin?2??答案 D
ππ7ππ
x－?－?＝sin?5x－?解析 将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin?5?4??4??4?2?1
的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝
27π
10x－?的图象． sin?4??
π
5.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ) (|φ|<)的部分图象如图所示，则该
2简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 π
A．T＝6π，φ＝
6π
C．T＝6，φ＝
6答案 C
π
解析 由图象易知A＝2，T＝6，∴ω＝，
3π
×1＋φ?＝1， 又图象过(1,2)点，∴sin??3?ππππ
∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.
3226
π
B．T＝6π，φ＝
3π
D．T＝6，φ＝
3
( )
( )
B．3
C．6
D．9
( )
7π10x－? B．y＝sin?2??7π10x－? D．y＝sin?4??
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
π2x＋?， 例1 已知函数y＝2sin?3??(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
π
2x＋?的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． (3)说明y＝2sin?3??思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决． (2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点． (3)只要看清由谁变换得到谁即可．
π2π
2x＋?的振幅A＝2，周期T＝＝π， 解 (1)y＝2sin?3??2π
初相φ＝.
3
ππ
2x＋?＝2sin X. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin?3??3列表，并描点画出图象：
x X y＝sin X π2x＋? y＝2sin?3??π－ 60 0 0 π 12π 21 2 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －2 5π 62π 0 0
ππ
x＋?的图(3)方法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin??3?3π1
x＋?的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y象，再把y＝sin??3?2
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