《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

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第1章 线性空间和线性变换（详解）

1-1 证：用E表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素

ii为1外，其余元素全为0的矩阵.用

Eij(i?j,i?1,2,,n?1)表示n阶矩阵中除第i行，第j列

元素与第j行第i列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.

显然，E，E都是对称矩阵，E有n(n?1)个.

iiijii2不难证明E，E是线性无关的，且任何一个对称矩阵

iiij都可用这n+n(n?1)=n(n?1)个矩阵线性表示，此即对称矩

22阵组成n(n?1)维线性空间.

2同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空

间的维数为n(n?1).

2评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个n(n?1)维线性空间，只需找出n(n?1)个向量线性无

22关，并且集合中任何一个向量都可以用这n(n?1)个向量

2线性表示即可. 1-2解: 令??x?123411?x2?2?x3?3?x4?4

解出x,x,x,x即可.

1-3 解：方法一 设A?xE11?x2E2?x3E3?x4E4

即 故 于是

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解之得

即A在E,E,E,E下的坐标为(3,?3,2,?1).

T1234方法二 应用同构的概念，R是一个四维空间，并

2?2且可将矩阵A看做(1,2,0,3)，

TE1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有

?1?1??1??11111??1?01102????1000??0??0003??03?100?3?? 0102??001?1?T000因此A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1).

1-4 解：证：设k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0

即

?11??11??11??10?k1??k?k?k?2?01?3?10?4?11?11????????

?k?k?k?kk?k?k???1234123??0k1?k2?k4??k1?k3?k4于是

k1?k2?k3?k4?0,k1?k2?k3?0 k1?k3?k4?0,k1?k2?k4?0

解之得

k1?k2?k3?k4?0

故α1,α2,α3,α4线性无关. 设

?ab??11??11??11??10??cd??x1?11??x2?01??x3?10??x4?11???????????

?x?x?x?xx?x?x???1234123?x1?x2?x4??x1?x3?x4于是

x1?x2?x3?x4?0,x1?x2?x3?0

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x1?x3?x4?0,x1?x2?x4?0

解之得

x1?b?c?d?2a,x2?a?c

x3?a?d,x4?a?b

x1,x2,x3,x4即为所求坐标.

1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）

?1???323?0?p(x)?1?2x???1,x,x,x???0????2??y1??y?23?2????1,x?1,(x?1),(x?1)???y?3???y4?又由于

23??1,x?1,(x?1),(x?1)???111?1?223?0???1,x,x,x???001??000

1? 3???3??1?于是p(x)在基1,x?1,(x?1),(x?1)下的坐标为

23?y1??1?y??0?2????y3??0????y4??03111??1??3??0??6?1?23???????

01?3??0??6??????001??2??2??1方法二 将p(x)?1?2x根据幂级数公式按x?1展开可得

p(x)?1?2x3p??(1)p???(1)(x?1)2?(x?1)3 2!3!?3?6(x?1)?6(x?1)2?2(x?1)3?p(1)?p?(1)(x?1)?因此p(x)在基1,x?1,(x?1),(x?1)下的坐标为?3,6,6,2?.

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