^`
四、模型假设
1、假设已确诊人数作为主要的预测模型的指标，对于甲流感病情的预测没有影响。 2、假设所有的统计数据真实，没有遗漏现象。
3、假设与患者有效接触的易感染者（即未患过该病的健康者）均会被传染。
4、假设所考查人群的总数恒定，没有其他病源的输入和输出，不考虑总人口的出生率和自然死亡率。
五、模型的建立与求解
5.1 对问题一建立模型与求解 5.1.1 已确诊病例散点图
根据问题一，由附件1（香港疫情数据）中的已确诊病例数据,用Mtlab7.1作出如下散点图（程序参见附件3）：
图1 散点图
从图1可看出，前25天（即5月20日至6月15日），甲流的传播速度增长幅度较大，而后四十天，甲流的传播速度持续增长，但增长速度趋于平缓。 5.1.2 马尔萨斯模型（Malthusian 模型）
甲流传播预测模型类似于人口增长的预测模型，故首先采用马尔萨斯模型（Malthusian 模型）进行建模。设时刻t的病人人数x?t?是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数?，考察t到t+?t病人人数的增加，则有
x?t??t??x?t???x?t??t 再设t?0时有x0个病人，即得微分方程
^`
解之可得：
?dx???x ?dt??x?0??x0 x?t??x0e?t 其中， x0,? 为常数。
根据香港疫情数据中的已确诊的病例数据散点图(图1)，考虑利用马尔萨斯模型
x?t??x0e?t来预测甲流的传播情况。用matlab7.1求得x0?1107.8 ??0.0175。即得
马尔萨斯模型如下（程序参见附件4）： x?t??1107.8e0.0175t 模型Ⅰ
图2 马尔萨斯拟合及预测图形
结果表明，随着t的增加，病人人数x?t?无限增长。即马尔萨斯拟合及预测图线与香港疫情中的已确诊病例数据图线拟合程度较差，且对未来预测情况跟实际显然是不太
相符合的，因此暂不考虑用该模型进行数据预测。
对模型Ⅰ的结果分析：马尔萨斯模型是关于人口或种群增长的模型，它发现人口或种群成指数增长。即在模型I中可引意为，患病人数随着时间得增长呈指数增长变化。但现实生活中，由于病人在有效接触的人群中，包含健康人和病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，因此在改进的模型中必须避免将健康人和病人混为一体这种情况，即要区别病人和健康人进行建模。 5.1.3 阻滞增长模型（Logistic模型）
在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中占得比例分别记作s?t?和i?t?。
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假设病人每天的有效接触的平均人数是常数?，?成为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使?s?t?个健康者变为病人，因为病人数为Ni?t?，所以每天共有?Ns?t?i?t?个健康者被感染，于是?Nsi就是病人数Ni的增加率，即有
又因为
s?t??i?t??1
Ndi??Nsi dt再记初始时刻?t?0?病人的比例为i0，则
?di???i?1?i? ?dt??i?0??i0解之得：
i?t??
1?1???t1???i?1??e?0? 模型Ⅱ
用Mtlab7.1作出i?t?~t和
di： ~i的图形如下（程序参见附件5）
dt
图3 Logistic模型i?t?~t曲线 图4 Logistic模型模型Ⅱ结果分析：由图4可知，当i?0.5时
di~i曲线 dt
di?di?达到最大值??，这个时刻为 dt?dt?m
?1??tm???1ln??1?i? ?0?此时病人数增加得最快，预示着传染病的高潮的到来。tm与?成反比，由于日接触
^`
率?反应了该地区的卫生水平，?越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以延缓传染病高潮的到来。而当t??时i?1，即所有人终究将被传染，全变为病人，这显然与实际情况不符相。其中的原因是模型中没有考虑到病人是可以治愈的，人群中的健康者只能变成病人，而病人不会再变成健康者。下面模型中将讨论病人可以治愈的情况。
5.1.4 SIS模型
由于病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，那么由此得到需增加的条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数?，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然
1是这种传染病的平均传染期。 ??di?N??Nsi??Ni ?dt
??s(t)?i(t)?1记初始时刻?t?0?病人的比例为i0，则
?di???i(1?i)??i ?dt
??i(0)?i0设???，则?可表示整个传染病期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。利 ?用?，可得如下模型：
di1?????i?i?(1?)? 模型Ⅲ dt???根据模型Ⅲ，利用Mtlab7.1作出
di： ~i的图形，如下（程序参见附件6）
dt
图5 SIS模型的
di~i曲 图6 SIS模型的i~t曲 dt
^`
模型Ⅲ结果分析：不难看出，接触数??1是一个阈值。由图5可知道，随着病人所占的人数越多，那么在时间t内病人的增长率就越大。当??1时i?t?的增减性取决于i0的大小（见图6），单其极限值i????1?1?随着?的增加而增加；当??1时病人比例i?t?越来越小，最终趋于0，这是由于传染期内经有接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故。 5.1.5 SIR模型
由于病人在治愈后有一定的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们己经退出传染系统。人群分为健康者、病人、病愈与免疫的移
出者三类，即SIR模型。这三类人在总人数N中占得比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。
?s(t)?i(t)?r(t)?1? ?dr
N??Ni?dt?记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0?s0?0?和i0?i0?0?（设移出者的初始值
r0?0），则可得SIR模型：
?di?d??si??Ni?t?ds ????si 模型Ⅳ
d?t?i?0??i0??s?0??s0由于模型Ⅳ无法直接求出s(t)和i(t)的值，故先作数值运算。设??2,??0.5,i(0)?0.02, ： s(0)?0.96，用Mtlab7.1求解可得如下i(0),s(t)图形和s~i图形（程序参见附件7）
图7 i(0),s(t) 图形 图8 s~i图形（相轨图）
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