第4讲 数阵图
一、知识要点
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，是不是很奇妙！
上面两个图就是数阵图。一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只介绍两种数阵图，即开放型数阵图和封闭型数阵图。
二、精讲精练
例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
解析：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右图)。
练习1：
1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。
2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例2：把1～5这五个数填入下页三个数之和相等。
解析：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右图的填法。
练习2：
1、将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的
例3：把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
解析：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样都不知道。但由例1、例2的分析知道，
(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。 ? 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。 ? 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。 ? 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5）÷2=10。 填法见右下图。
由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。
(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。如例1。
(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。 练习3：
1、将3～9这七个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
2、将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
:
例4：将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.
解析：因为1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为9×3 = 27， 27－21 = 6，这个6就是由于三个顶点都被重复算了一次。所以三个顶点的和为6，在1-6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。
a. b. c.
1 1 6 5 5 6 2 3 4 3 2 3 4 2 6 1 5 4 3 d. e. f.
4
练习4：
2 6 5 1 1 5 3 4 6 2 2 4 3 5 6 1 3 1、把1-8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等。
例5：把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
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