第7讲 正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【复习指导】
掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．
基础梳理
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
?x－μ?1
函数φμ，σ(x)＝e－2σ2，
2πσ
x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)． ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为?x－μ?2
幂指数为－2σ2.
1
，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，2πσ
2
2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a 六条性质 正态曲线的性质 ?x－μ?1正态曲线φμ，σ(x)＝e－2σ2，x∈R有以下性质： 2πσ(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值1； σ2π2 (4)曲线与x轴围成的图形的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 双基自测 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝?x－10?2 8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 1 e－8π ?x－10??x－μ?11 解析 由e－8＝e－2σ2，可知σ＝2，μ＝10. 8π2πσ答案 B 2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( )． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析 由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2， 故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C. 答案 C 3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于( )． A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 1 解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－21 P(2≤X≤4)＝0.5－2×0.682 6＝0.158 7.故选B. 答案 B 4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于( )． A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析 P(－2≤X≤2)＝1－2P(X>2)＝0.954. 答案 C 5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X 解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是＝2，∴c＝2. 答案 B 考向一 正态曲线的性质 【例1】?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 c＋1＋c－1 2 22 1 . 42π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． [审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关． 解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由是 1x2 φμ，σ(x)＝e－32，x∈(－∞，＋∞)． 42π(2)P(－4 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握 函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响． 11＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式2πσ2π·4 2 【训练1】 设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图象 如图所示，则有( )． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析 根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 答案 A 考向二 服从正态分布的概率计算
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