101中学坑班2012年春季四年级第十二讲计数问题及答案

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101中学坑班2012年春季四年级第十二讲计数问题及答案

知识要点：

1. 乘法原理

如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有m2种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2种不同的方法. 推广后得到如下更一般的结论：

如果做一件事需要分n个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，??，做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有N =m1×m2×??×mn种不同方法. 2. 加法原理

如果完成一件事有n类办法，只选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成.又已知在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，??，在第n类办法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+??+mn种不同的方法. 3．加法原理与乘法原理的区别

加法原理是先把方法分类，每一类的方法都能完成这件事，最后把这些方法相加； 乘法原理是先把方法分步，每一步都不能独立完成这件事，完成这件事，这些步骤缺一不可，最后把方法数相乘.

注意: 区分运用乘法原理与加法原理的不同条件. 在有些问题中，这两个基本原理还要结合使用,另外有特殊条件的应予以优先考虑.

4.排列：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）排成有序的一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有排列的个数，

m叫做从n个不同元素中取出m个有序元素的排列数，记为An.根据乘法原理，

mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m≤n） （排列数公式）

n特殊地，当m=n时，An?n?(n?1)?(n?2)??3?2?1，表示从n个不同元素中取

出n个元素排成一列所构成排列的排列数，这种n个元素全部取出的排列，叫做n个不同元

n素的全排列.我们将n?(n?1)?(n?2)??3?2?1记为n！，读做“n的阶乘”，则An?n!.

3如，从5名同学中选出3名同学站成一排，共有A5?5?4?3?60种站法.

5.组合：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）组成一组不计较组内各元素次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的

m所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，记为Cn.

mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)n!0 C?（m≤n）（组合数公式），规定：C?1. ??nmm!m!(n?m)!Ammn3P5?4?35如，从5名同学中选出3名同学去参加夏令营，共有C?3??10种不同的选法.

P3?2?13356.排列组合常见的恒等式：

（1）Cn?1，（2）Cn?Cnnmn?m

7.解决排列组合问题的十六字方针：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.

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典型例题

例1 如图，甲乙两地之间有2条路，乙丙两地之间有4条路，甲丁两地之间有3条路，丙丁两地之间有3条路.

例2 将1332,332,32,2 这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？

例3 将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？

BAC

D

例4 在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种方法？

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例5 有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这9张圆形数码如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问： （1） 如果M位上放置标有数码“3”的纸片，

M一共有多少种不同的放置方法？

（2） 如果M位上放置标有数码“2”的纸片，

一共有多少种不同的放置方法？

例6 有5名男生、2名女生站成一排照像： （1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？ （2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？ （3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？ （4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？

（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？

例7 下面五张卡片上分别写有数字: 可以用它们组成许多不同的五位数,

0 0 1 2 3 求所有这些五位数的平均数.

例8 从2、3、5、7、9五个数字中,选出四个数字组成被3和5除都余2的四位数,这样的

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四位数共有 个.

例9 在1001,1002,?2000这1000个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数,使它们相加时不进位.

例10 长方形四周有14个点,相邻两点之间的距离都是1cm,以这些点连成三角形,面积是

? ? ? ? ? 3cm2的三角形有几个?

? ?

? ?

? ? ? ? ?

例11 一种计时表中显示六位数，如10∶24∶56表示10点24分56秒，问：从0点到12点这一段时间内，计时表中出现不重复数字的六位数有多少个？

例12 （1）求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数.

（2）求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数.（技巧一：添加球数用隔板法.）

（3）将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数.（技巧二：减少球数用隔板法）

巩固习题：

1. H市的电话号码有七个数字,其中第一个数字不为0,也不为1.这个城市、数字不重复的电话号码共有 个. 解：483840.先排首位,有8种方法.再依次排后面六位,依次有9,8,7,6,5,4种方法.故一共有8×

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