第五章 相交线与平行线
（一）相交线
1、相交线
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线
2、对顶角
①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 ②对顶角的性质：对顶角相等。
3、邻补角
①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角。 ②邻补角的性质：邻补角互补。
4、垂线
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直。
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。 ③它们的交点叫做垂足。 ④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。
⑤点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 5、同位角
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。
6、内错角：
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。
7、同旁内角：
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角
8、几何计数：
①平面内n条直线两两相交，共有n ( n-1) 组对顶角。（或写成 n2 - n 组） ②平面内n条直线两两相交，最多有n(n-1)/2个交点。（或写成（n2-n）/2个） ③ 平面内n条直线两两相交，最多把平面分割成[n(n+1)/2]+1个面。
④ 当平面内n个点中任意三点均不共线时，一共可以作n(n-1)/2 条直线。
回顾：ⅰ、一条直线上n个点之间，一共有n(n-1)/2 条线段； ⅱ、若从一个点引出n条射线，则一共有n(n-1)/2 个角。
（二）平行线及其判定
1、平行线
在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
2、平行公理及其推论：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行。 （3）两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行。） （4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
（三）平行线的性质
1、平行线的性质
性质1 两条平行被第三条直线所截同位角相等。
简单说成两直线平行同位角相等。
性质2两条平行线被第三条直线所截内错角相等。
简单说成两直线平行内错角相等。
性质3两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补。
简单说成两直线平行同旁内角互补。 （4）平行线间的距离处处相等
（5）如果两个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补
2、命题、定理、证明
（1）命题的概念：
判断一件事情的语句叫做命题。 （2）命题的形式：
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
通常可以写成“如果??那么??”的形式。“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 （3）命题包括两种
①如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称为真命题； ②题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题称为假命题。
逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题；原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。 （4）定理
经过推理证实的真命题叫做真理，它可以作为继续推理的依据。 （5）证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
（四）平移
1、平移的定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同
2、平移的性质：
（1）平移是延直线移动
（2）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同；
（3）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点
的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
第六章 实数
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）所有开方开不尽的数，如7，32等； （2）化简后含有π的数，如π+8等； （3）无限不循环小数。
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
①如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 ②一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 ③正数a的平方根记做“±a?”
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a” 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
①如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根） ②一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 ③注意：3-a??3a这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数， ①a-b>0→0a>b ②a-b=0→a=b ③a-b<0→a
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则lal>lbl→a
考点五、实数的运算
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
第七章 平面直角坐标系
1、有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对。
2、坐标
数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个 点在数轴上的坐标。
3、平面直角坐标系：
①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上)。
4、点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）。 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号。
5、坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。
6、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。
7、象限
平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二
象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）。 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。
ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相
应发生改变。
8、坐标平面内点的位置特点
①、坐标原点的坐标为（0，0）；
②、第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④、第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥、横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦、纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
9、点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。
注: ①、已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情
况，应注意不要丢解。
②、坐标平面内任意两点A（x?y?）、B(x?,y?)之间的距离公式为：d =
?x21222?x2?y1?y2
???10、坐标平面内对称点坐标的特点
①、一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②、一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③、一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反。
11、平行于坐标轴的直线的表示
①、平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵
坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值；
②、平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横
坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值。
12、象限角平分线的特点
①、第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②、第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
13、坐标方法的简单应用
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴和y轴的正方向 （2）根据具体问题确定单位长度
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
14、点的平移
在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。“下减上加”
15、图形的平移
在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
16、坐标方法的简单应用
求面积
①、已知三角形的顶点坐标求三角形的面积
将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形
面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；
②、已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差。
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