空间点线面的位置关系

空间点、直线、平面间的位置关系

考纲要求

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为 推理依据的公理和定理．

2.能证明一些空间位置关系的简单命题. 考情分析

1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．

2.以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 3.多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题. 教学过程

基础梳理 1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在同一平面内，那么 符号表示： 。

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点， 。 符号表示： 。

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么

符号表示： 。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

平行??共面直线??

?相交?

??异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，

把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． π??

②范围：?0，?.

2??

3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 图示：

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 图示：

5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

双基自测

1．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为

A．3 C．5

2．下列说法正确的是

A．若a?α，b?β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

( )B．4 D．6

( )

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

3．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

( )

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

4．(教材习题改编)两个不重合的平面可以把空间分成______部分．

5.一个正方体纸盒展开后如图所示， 在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

两种方法

异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用

(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断

直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线（演练习题2.1B组2.3两题）

典例分析

考点一、平面的基本性质及其应用 [例1] (2012·台州模拟)以下四个命题中 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2011·沈阳模拟)如图是正方体或四面体，P、Q、 R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一 个图是

( )

( )

2．(2011·南通月考)定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点． [冲关锦囊]

1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．

2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：

①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在