经济数学基础线性代数部分综合练习及答案 

经济数学基础线性代数部分综合练习及答案

一、单项选择题

1．设A为3?2矩阵，B为2?3矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 2．设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ） A. (AB)T?ATBT B. (AB)T?BTAT C. (ABT)?1?A?1(BT)?1 D. (ABT)?1?A?1(B?1)T 3．以下结论或等式正确的是（ C ）．

A．若A,B均为零矩阵，则有A?B B．若AB?AC，且A?O，则B?C C．对角矩阵是对称矩阵 D．若A?O,B?O，则AB?O 4．设A是可逆矩阵，且A?AB?I，则A?1?（ C ）. A. B B. 1?B C. I?B D. (I?AB)?1

5．设A?(12)，B?(?13)，I是单位矩阵，则ATB?I＝（ D ）．

??1?2???2?2???13???23? A．? B． C． D． ???????6?5??3?3??26???25??120?3? 6．设A??00?13?，则r(A) =（ C ）．

????24?1?3?? A．4 B．3 C．2 D．1

7．设线性方程组AX?b的增广矩阵通过初等行变换化为

?13?0?1??00??0012316?4??02?1??000?，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为

（ A ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

?x1?x2?1 8．线性方程组? 解的情况是（ A ）．

x?x?02?1 A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无

穷多解

?1?2? 9．若线性方程组的增广矩阵为A??，则当?＝（ B ）时线性??210?方程组无解．

A．0 B．

1 C．1 D．2 2 10. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）． A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n 11．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）．

A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解

12．设线性方程组AX?b有唯一解，则相应的齐次方程组AX?O（ C ）． A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定

二、填空题

??23?1?1．若矩阵A = ??12?，B = ?2?31?，则ATB=?． ??4?62??1?2??0?4?T2．设矩阵A???，I为单位矩阵，则(I?A)＝?2?2?． 43???? 3．设A,B均为n阶矩阵，则等式(A?B)2?A2?2AB?B2成立的充分必要条件是A,B是可交换矩阵. ?102??，当a?0时，A是对称矩阵. a034．设A??????23?1?? 5．设A,B均为n阶矩阵，且(I?B)可逆，则矩阵A?BX?X的解X= ． 应该填写：(I?B)?1A

6．设A为n阶可逆矩阵，则r(A)= ．

应该填写：n

7．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b 应该填写：无解

．

?x?x2?08．若线性方程组?1有非零解，则??-1. ?x1??x2?09．设齐次线性方程组Am?nXn?1?0，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n – r ．

10. 已知齐次线性方程组AX?O中A为3?5矩阵，且该方程组有非0解，则r(A)?3．

?1?123?11．齐次线性方程组AX?0的系数矩阵为A??010?2?则此方程组的一

????0000???x1??2x3?x4般解为?(其中x3,x4是自由未知量)

x?2x4?2

16??11?，则t0?132 12．设线性方程组AX?b，且A????1时，方程组????00t?10??有唯一解.

三、计算题

?012??，求逆矩阵A?1． 114 1．设矩阵A =?????2?10??4010??012100??11???01? 1140102100解 因为(A I ) =????????2?10001???0?3?80?21???102?110??1002?11????0104?21? 012100 ?????????00?23?21???00?23?21??2?11??100? 0104?21 ??????001?321?12???11??2? 4?21 所以 A-1=??????321?12??3???11?，求逆矩阵(I?A)?1． 1?15 2．设矩阵A =?????1?2?1???013?? 105解 因为 I?A??????1?20??5010??013100??10???01? 1050103100 且 ????????1?20001???0?2?50?11???105010??100?106?5????010?53?3? 013100 ????????2?11??0012?11???001? 所以 (I?A)?1??106?5?? ???53?3????11??2??11??，B =?12?3?，计算(BA)-1． 0?2 3．设矩阵 A =??0?12???????20???12?3?解 因为BA=???0?12??11??0?2?=??5?3? ???42?????20????5?310???1?111? (BA I )=????4201? 4201????3??101?11?1?1?2? ??????01?2?52??0?245???3??1-12? 所以 (BA)=???2?52????12??12? 4．设矩阵A??，求解矩阵方程XA?B． ,B?????35??23?解：因为

10??1210??12?10?52? ? ????0?1?31??013?1? 3501???????12?即 ??35???1??52???? 3?1???12??12??12???52? 所以，X =?=??35??23??3?1?= 23?????????1?10???11? ???2x3??1?x1? 5．设线性方程组 ??x1?x2?3x3?2，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并

?2x?x?5x?023?1判断其解的情况.

解 因为

02?1?2?1??1?10???01?11? ?11?32 A????????0?2??2?15??0?11??102?1?? 01?11 ?????3??000?所以 r(A) = 2，r(A) = 3. 又因为r(A)

r(A)，所以方程组无解.

?2x3?x4?0?x1? 6．求线性方程组??x1?x2?3x3?2x4?0的一般解．

?2x?x?5x?3x?0234?1

解 因为系数矩阵

02?1?2?1??1?10?102?1????01?11???01?11? ?11?32 A??????????0???2?15?3???0?11?1???000??x1??2x3?x4 所以一般解为? （其中x3，x4是自由未知量）

x?x?x34?2?2x1?5x2?2x3??3? 7．求线性方程组?x1?2x2?x3?3的一般解．

??2x?14x?6x?12123?

解 因为增广矩阵

?2?52?3??12?13??10?191????0?94?9???01?491? 12?13 A???????????00???214?612???018?818???00?1?x?x?1??193所以一般解为 ? （其中x3是自由未知量）

4?x?x?123?9? 8．设齐次线性方程组

?x1?3x2?2x3?0??2x1?5x2?3x3?0 ?3x?8x??x?023?1问取何值时方程组有非零解，并求一般解.

解 因为系数矩阵

2??1?32??1?3?10?1????01???01?1? 2?53?1 A =???????????3?8????01??6???00??5??所以当 = 5时，方程组有非零解. 且一般解为

?x1?x3 （其中x3是自由未知量） ?x?x3?2?x1?x2?x3?1? 9．当?取何值时，线性方程组?2x1?x2?4x3?? 有解？并求一般解.

??x?5x3?1?1 解 因为增广矩阵

11??1111??11 A??21?4????0?1?6??2?

????62????1051????01??10?5?1?2? ??016??????000?所以当?=0时，线性方程组有无穷多解，

?x1?5x3?1且一般解为：? (x3是自由未知量〕

x??6x?23?2