相似三角形判定定理的证明(基础)知识讲解

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相似三角形判定定理的证明(基础)

【学习目标】

1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程.

3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】

要点一、两角分别相等的两个三角形相似

已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则

∠ADE=∠B，∠AED=∠C,

ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.ABAC 过点D作AC的平行线，交BC与点F,则

ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.ABCBAECF ∴ ?ACCB∵DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴

ADAEDE??. ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,

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∴△ADE∽△ABC.

∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′.

要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.

要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,

ABAC,求证：△ABC∽△A′B′C′. ?A'B'A'C'

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则

∠B=∠ADE,∠C=∠AED,

∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).

ABAC. ?ADAEABAC∵ ,AD=A′B′, ?A'B'A'C'ABAC?∴ ADA'C'ACAC?∴ AEA'C'∴∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′.

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