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《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解
第二章
2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。
1Cs?R1，z?R，则传递函数为： (a)z1?221RCs?11R1?CsR1?(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程： 并且有
联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：
2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为
(b)由运放虚短、虚断特性有：Cuidudu??Ci?C0，uc?ui?u0， Rdtdtducui?uc?ucuu???0，c?0?0，
R2R1dtR2R2联立两式消去uc得到 对该式进行拉氏变换得
故此传递函数为 (c)Cducuc?u0uuu??c?0，且i??c，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为
2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角?为输出量的微分方程式和传递函数。
解：设激磁磁通??Kfif恒定
2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为?。
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解：
C?s??R?s?KACm?
60??iLaJs3?i?Laf?RaJ?s2?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2???2-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为
d?0.u026??。假设电路中的R?103?，静态工作点u0?2.39V，id?10??e?1?????6i0?2.19?10?3A。试求在工作点(u0,i0)附近id?f(ud)的线性化方程。
?3解：id?2.19?10?0.084?ud?0.2?
2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程： 代入v1?dy1dy、v2?2得 dtdt2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为?i，温度计显示温度为?。试求传递函数
?(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 ?i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程： 对上式进行拉氏变换得到 则传递函数为
2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数
解：(a) 化简过程如下 R(s) + R(s) + + C(s)。 R(s)H1 G2 + G1 + + G3 G4 G3 C(s) HC(s) C(s) C(s) + + C(s) G2 G2 G1 _ _ _ + R(s) _ G1+G2 G3 + R(s) + R(s) _ 1G1+GG21 G3 H2 _ R(s) C(s) 传递函数为 + G1+H1 (b) 化简过程如下 a) H1 H3 + b) G2 H1 G1 G4 图2-T-8 R(s) _ +
G4+G2GR(s) + + 传递函数为 _ G2 G1 3 G3 R(s) _ C(s)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数。 H3+H2/G1/G1 R(s)H2 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. H3 C(s) + C(s) C(s) 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
R(s) + 解：化简过程如下 _ R(s) +
C(s) + _
R(s) _ 系统的传递函数为+ 0.7 + 0.7 0.7 _ _ 0.5 + C(s) R(s) C(s) C(s) + 0.4 Ks 0.4 C(s)。 2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数R(s)
系统的传递函数为 R(s) + Ks H2 + C(s) + 图2-T-9 G1 G2 G3 C1(s)C2(s)2-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数和（设+ _ R1+ (s)R2(s)H1 R2(s)?0）。
_ 解：系统信号流程图如图所示。 R1(s) + G4 图2-T-10 G1系统信号流程图 G2 题2-11 C1(s) G3 + C(s)2-12 求图2-T-12所示系统的传递函数。 R(s)H2 H1 C2(s) R2(s) + + + ?L1?cdh， 解：(a) 系统只有一个回环：G5 G6 G4 _ 在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1?abcdef，P2?abcdi，图2-T-11 P4?agdi，相应的，有：?1??2??3??4?1 3?agdef，P则
(b) 系统共有三个回环，因此，?L1??111??， R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，?L2??1?1?1??????RRCCs2 R1C1s?RCs22?1212?1111??1??，并且有sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1?1??1?1，则
2-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。
D1(s) R(s) + + + + + G 1版本可编辑. G2 _ 3文档来源为:从网络收集整理.word_ H2 + D2(s) _ C(s) 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
解：采用叠加原理，当仅有R(s)作用时，
C1(s)G1G2?， R(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D1(s)作用时，
C2(s)G2?， D1(s)1?G2H2?G1G2H1C3(s)G2?，
?D2(s)1?G2H2?G1G2H1C4(s)G1G2H1?? D3(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D2(s)作用时，
当仅有D3(s)作用时，根据叠加原理得出
第三章
3-1 设系统的传递函数为
求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有
r(t)?t，R(s)?所以有
分三种情况讨论 （1）当??1时， （2）当0???1时， （3）当??1时，
1 2s设系统为单位反馈系统,有
系统对单位斜坡输入的稳态误差为
3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为
（1）G(s)?50K （2）G(s)?
(1?0.1s)(1?2s)s(1?0.1s)(1?0.5s)K(1?2s)(1?4s)KG(s)? （4） 222s(s?4s?200)s(s?2s?10)2s?0s?02（3）G(s)?解：（1）Kp?limG(s)?50,Kv?limsG(s)?0,Ka?limsG(s)?0；
s?0（2）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)?K,Ka?limsG(s)?0；
s?0s?0s?0（3）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)??,Ka?limsG(s)?s?0s?0s?02K； 10（4）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)?s?0s?0K,Ka?lims2G(s)?0
s?02004文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。
（1）r(t)?R0，（2）r(t)?R0?R1t，（3）r(t)?R0?R1t?解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下
（1）r(t)?R0，此时有rs(t)?R0,1R2t2 2?s(t)??rr?s(t)?0，于是稳态误差级数为
esr?t??C0rs(t)?0，t?0
（2）r(t)?R0?R1t，此时有rs(t)?R0?R1t,级数为
?s(t)?R1,?rr?s(t)?0，于是稳态误差
?s(t)?0.1R1，t?0 esr?t??C0rs(t)?C1r （3）r(t)?R0?R1t?11?s(t)?R1?R2t，R2t2，此时有rs(t)?R0?R1t?R2t2,r22?r?s(t)?R2，于是稳态误差级数为
?s(t)?esr?t??C0rs(t)?C1r3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
C2?r?(t)?0.1(R1?R2t)，t?0 s2!若输入为r(t)?sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。
解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下 以及
则稳态误差级数为
3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。
R(s) C(s) + R(s) C(s) _ + 解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esr?，加入比例—微分环节后 _ ?na) 可见取a?2?2?图3-T-1
3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为
从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp?0.096，
?n，可使esr?0
b)
tp?0.2s。试确定传递函数中的参量?及?n。
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