名师堂学校阶梯数学出品
名师堂学校“阶梯数学”出品 2017年第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛模拟试题（1） （小学高年级组）
一、选择题。（每小题10分，四个选项仅有一个结论正确，请将正确答案的字母填在圆括号内） 1.把一个正方形纸片如图所示折叠，然后剪去黑色部分，最后展开后的图案如图（ ）所示。
(A)(B)(C)(D)
【考点】图形的展开与折叠 【难度】★ 【答案】B 【解析】
解法1：实际操作即可； 解法2：倒推。
2.由两根8厘米、一根5厘米的小棒可以搭成一个三角形，这个三角形是（ ）三角形。
A.等腰锐角 【考点】三角形分类 【难度】★ 【答案】A
【解析】三根8厘米的小棒可以搭成一个等边三角形，是一个锐角三角形；
把其中一根8厘米的小棒换成5厘米后是一个等腰三角形，顶角由60度变小，还是锐角，所以是等腰锐角三角形。
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B.等腰直角 C.等腰钝角 D.等边
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3.已知下面4个图中的正方形边长都是1，那么图中阴影部分的面积最大的是（ ）。
【考点】圆与组合图形面积 【难度】★★ 【答案】A
1122
×π×1×2 – 1 = π – 1 ≈ 0.57； 42112
图B的面积：1 -（π - 1）= 2 - π ≈ 0.43；
22【解析】图A的面积：
1?1?2
图C的面积：1 – π×?? = 1 - π ≈ 0.215；
4?2?1?1? 图D的面积：1 – π×?? = 1 - π ≈ 0.215；
4?2?2
22 所以，图A的面积最大。
4.用红和黄两种颜色给立方体的6个面染色，要求每个表面必须染色，且染色后经过适当旋转或翻滚着色相同则认为是相同的染色方式，那么共有（ ）种不同的染色方式。
A.6
【考点】染色计数 【难度】★★★ 【答案】D
【解析】用1种颜色染色，有红、黄2种方式； 用2种颜色染色，再分类统计： （1）仅1个面是红色，有1种；
（2）仅2个面是红色，有相对和相邻，2种； （3）仅3个面是红色，有共边和共顶点，2种；
（4）仅4个面是红色，即有2个面是黄色，黄色有相对和相邻，2种； （5）仅5个面是红色，即有1个面是黄色，1种； 一共：2 +（1 + 2 + 2 + 2 + 1）= 10（种）
5.将1—9填入如图所示的六边形网格中，每个格子填一个数，要求每个格子周围格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍，中间的格子填的数是6，它周围格子里的数字之和是（ ）。
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B.8 C.9 D.10
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6 A.18 【考点】数字格 【难度】★★★★ 【答案】C 【解析】
6.下图是一个正三角形，是由9个相同的小正三角形组成的三角形网格，小正三角形的顶点称为格点，以格点为顶点连接出的正三角形称为格点正三角形，则图中一共有（ ）个格点正三角形。
B.24
C.15
D.16
A.13 【考点】图形计数 【难度】★★★ 【答案】C
【解析】正△：（1 + 2 + 3）+（1 + 2）+ 1 = 10（个） 倒▽：1 + 2 = 3（个） 特殊：2个；
一共：10 + 3 + 2 = 15（个） 二、填空题。（每小题10分）
7.数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中得分靠后的4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖的平均分 多 分。 【考点】平均数 【难度】★★★ 【答案】10.5
【解析】设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，得 10x + 20y =（10 - 4）（x + 3）+（20 + 4）（y + 1）
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B.12 C.15 D.16
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化简 得 x – y = 10.5
8.100名运动员的编号是从1到100，若每名运动员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子，那么运动员们在黑板上写下的所有数之和是 。 【考点】数论 【难度】★★★★ 【答案】3344
【解析】2＜100＜2，将1至100按2可分成7类：
2类：2×1、2×3、2×5、?、2×99，即所有奇数，对应最大奇因子的和：1 + 3 + 5 + ? + 99 = 2500； 2类：2×1、2×3、2×5、?、2×49，对应最大奇因子的和：1 + 3 + 5 + ? + 49 = 625； 2类：2×1、2×3、2×5、?、2×25，对应最大奇因子的和：1 + 3 + 5 + ? + 25 = 169； 2类：2×1、2×3、2×5、?、2×11，对应最大奇因子的和：1 + 3 + 5 + ? + 11 = 36； 2类：2×1、2×3、2×5，对应最大奇因子的和：1 + 3 + 5 = 9； 2类：2×1、2×3，对应最大奇因子的和：1 + 3 = 4； 2类：2×1，对应最大奇因子的和：1；
所以，所有奇因子的总和：2500 + 625 + 169 + 36 + 9 + 4 + 1 = 3344。
9.如图，△ABC中，点D在AC上，并且AB = AD，∠ABC - ∠C = 40°，则∠CBD是 度。
ADCB6
6
5
5
5
4
4
4
4
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
6
7
n
【考点】图形角度 【难度】★★ 【答案】20
【解析】①AB = AD，得∠ADB = ∠ABD； ② ∠ABC - ∠C = 40° ∠ABD + ∠DBC - ∠C = 40° ∠ADB + ∠DBC - ∠C = 40° ∠DBC + ∠C + ∠DBC - ∠C = 40° ∠DBC = 20°
10.把没有刻度的尺子用铰链连在一起，如图所示，最长的尺子长度应该是 厘米，才能使一把或几把尺子组合出整数长度为1至15厘米的尺子。
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