2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合??={??∈??|??2≤4}，??={??|?4

A. ??={??|?2≤??<2} B. ??={??|?4

2. 已知复数??=(??+??)(1?2??)(??∈??)的实部为3，其中i为虚数单位，则复数z的虚

部为( ) A. ?1 B. ??? C. 1 D. i

? =(1,?2)，? ? =(1,??)，若向量??? 与向量? 3. 已知向量????=(3,?3)，????+??? 共线，则实数

??=( ) A. 5 B. ?5 C. 1 D. ?1 4. 已知函数??(??)=cos2?√3sin2的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要

把C上所有的点( )

??

??

A. 向左平移3个单位 C. 向右平移3个单位

5. 函数??(??)=?????的图象大致为( )

?????

??3??

??

B. 向左平移3个单位 D. 向右平移3个单位

2??

2??

A.

B.

C.

D.

6. 在(??+??2)5的展开式中，一定含有( )

1

A. 常数项 B. x项 C. ???1项 D. ??3项

7. 已知直线m，n和平面??，??，??，有如下四个命题：

①若??⊥??，??//??，则??⊥??；

②若??⊥??，??//??，?????，则??⊥??； ③若??⊥??，??⊥??，??⊥??，则??⊥??； ④若??⊥??，??⊥??，则??//??． 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是

正方形、正六边形和正八边形．右下图是风雨桥中塔的俯视图．该塔共5层，若??0??1=??1??2=??2??3=??3??4=0.5??，??0??0=8??.这五层正六边形的周长总和为( )

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A. 35m B. 45m C. 210m D. 270m

9. 已知圆E的圆心在y轴上，且与圆C：??2+??2?2??=0的公共弦所在直线的方程

为???√3??=0，则圆E的方程为( ) A. ??2+(???√3)2=2 B. ??2+(??+√3)2=2 C. ??2+(???√3)2=3 D. ??2+(??+√3)2=3 10. 某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含

的条目数(如表)，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是( ) 学段 主题 数与代数 图形几何 统计概率 综合实践 合计 第一学段(1?3第二阶段(4?6第三学段(7?9合计 年级) 年级) 年级) 21 18 3 3 45 28 25 8 4 65 49 87 11 3 150 98 130 22 10 260

A. 除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍

B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与几何”条目数最多，占50%，综合与实践最少，约占4%

C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多

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D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．

2

+2????，(??∈???)，设11. 已知数列{????}的各项均为正数，其前n项和????满足4????=????

????=(?1)???????????+1，????为数列{????}的前n项和，则??20=( ) A. 110 B. 220 C. 440 D. 880

12. 设椭圆的左右焦点为??1，??2，焦距为2c，过点??1的直线与椭圆C交于点P，Q，若

|????2|=2??，且|????1|=3|????1|，则椭圆C的离心率为( )

4

A. 2

1

B. 4

3

C. 7

5

D. 3 2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护

相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为______

14. 等差数列{????}中，??1=1，公差??∈[1,2]，且??3+????9+??15=15，则实数??的最大

值为______．

15. 若??1，??2是函数??(??)=??2?7??+4??????的两个极值点，则??1??2=______；??(??1)+

??(??2)=______．

16. 现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面

ABCD为正方形，????=2，侧面△??????为等边三角形，线段BC的中点为E，若????=1.则所需球体原材料的最小体积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，

起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌(优等品和合格品)，某公司年产宣纸10000刀(每刀100张)，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示： x 质量等级 (48,52] (44,48]∪(52，56] (0,44]∪(56，100] 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元． (Ⅰ)估计该公司生产宣纸的年利润(单位：万元)；

(Ⅱ)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率，如表所示： X 频率 ?(???2,??+2] 0.6826 ??(???6,??+6] 0.9544 ??其中??为改进工艺前质量标准值x的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．

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18. 在△??????中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且??=4??????????．

(Ⅰ)求证：????????????????=3????????????????； (Ⅱ)求?????的最大值．

ABCD为直角梯形，????//????，19. 四棱锥???????????中，

????⊥????，????=????=1，????=2，????=????，E

为PC中点，平面??????⊥平面ABCD，F为AD上一点，????//平面BEF．

(Ⅰ)求证：平面??????⊥平面PAD；

(Ⅱ)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角??????????的余弦值．

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