第二课时 三角函数线
预习课本P15～17，思考并完成以下问题 (1)有向线段是如何定义的？
(2)三角函数线是如何定义的？
[新知初探]
1．有向线段
带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线
图示 正弦线 余弦线 正切线 α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 有向线段OM即为余弦线 过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线 [点睛] 三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A．在x轴上 C．在直线y＝x上 答案：B
3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) πA．
47πC．
4答案：D
4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：>
三角函数线的作法
[典例] 作出[解] 角
3π
的正弦线、余弦线和正切线． 4
B．
3π 43π7π或 44B．在y轴上 D．在直线y＝－x上
D．
3π
的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，4
3π
的终边的反向延长线交4
垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与于点T，则
3π
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 4
三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT. [活学活用] 作出－
9π
的正弦线、余弦线和正切线． 4
解：如图所示，
－
9π
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 4
题点一：利用三角函数线比较大小 1．利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin
2π4π2π4π与sin ；②tan 与tan . 3535
2π
的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与3
2π＝3
三角函数线的应用 解：如图所示，角
单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin MP，tan
2π
＝AT； 3
4π
的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为5
T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin
4π4π
＝M′P′，tan ＝AT′， 55
由图可见，MP>M′P′>0，AT 2π4π2π4π>sin ，②tan 题点二：利用三角函数线解不等式 2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥ 31；(2)cos α≤－. 22 3 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域2 解：(1)作直线y＝ (图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为 ???π2π ?α2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z?. 33??? 1 (2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图 2②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为 ???2π4π ?α2kπ＋ ≤α≤2kπ＋，k∈Z?. 33??? 题点三：利用三角函数线求函数的定义域 3．求函数f(x)＝1－2cos x＋lnsin x－? ?2? 的定义域． 2? 解：由题意，得自变量x应满足不等式组 1－2cos x≥0，??cos x≤2，??即?2 2??sin x－2>0，sin x>.?2 1 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ?π3π 即定义域为?x?2kπ＋3≤x<2kπ＋4，k∈Z ?? ??. ? 1．利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值． (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． 2．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法． 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围． (2)正切型不等式的解法． 对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围． 3．利用三角函数线求函数的定义域 解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
相关推荐：
loading