初中数学题的改编与变式
普陀二中 张杰 题1、【原题出处1】（2007·常州）
已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；
（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积； （3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由． 【原题出处2】（慈溪中学2008年保送生招生考试第14题）
已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF． （1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长； （2）当△FCG的面积为1时，求DG的长； （3）当△FCG的面积最小时，求DG的长.
HAEBDGCD H A G
C
M F
E B F【原题解析】：本题的设计的意图是考察学生的数学思想方法，核心思想“特殊～一般～特殊”，第（1）问中“DG＝2”寓意于DG＝AH ，即△HAE≌△GDH，且∠GHE＝90°．四边形（菱形）EFGH已特殊化为正方形。
第（2）问中“DG＝x”是让菱形EFGH一般化．由于可推知△FCG中，CG＝6－x，所以，作出CG边上的高FM就成为一种必然，再连接GE，通过证明△HAE≌△FMG，得FM＝AH＝2．
第（3）问是借助试题中“菱形EFGH的三个顶点E、G分别在正方形ABCD边AB、CD上”的限制作用．由第（2）问可知，FM＝AH＝2，是一个定值，则x的大小就限制了△FCG的面积．因为HD＞AH，所以HC＞HB，即①点E不可能与点A重合（x的最小值为0，即HG的最小值等于HD）②点G不能与点C重合（即HG的最大值等于HB）．这样通过求出x的值并由此求出HG（或AE）的值就可以正确判断△FCG的面积能否等于1了．
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改编题：如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH＝2.
（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；
（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；
（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直
接作否定的判断，不必说明理由.
H A y D y G C F H E B 图甲 y G C F H E B 图乙 D D C x A x A 备用图 B x 【改编意图说明】：
本题的关键点F的位置，在边BC上,是它的一种特殊情形，我设计改编的意图是以探究动态菱形EFGH中，点F的位置变化为主线而展开。从易到难的策略，利用从特殊到一般的思想，再辅于整体感知、逆向思维等方法，来考察学生的思维。 解：（1）如图甲，连接GE.
∵DG∥BE，∴∠DGE＝∠BEG， ∵HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG， ∴∠DGH＝∠BEF. 在△HDG与△FBE中，
??HDG??FBE?900,? ??DGH??BEF,?HG?FE,?y D H A G C F E B 图甲 x ∴△HDG≌△FBE，
∴FB＝HD＝AD－AH＝6－2＝4, ∴点F的坐标为（6，4）.
2
（2）如图乙，连接GE，作FM⊥x轴，垂足为点M. 同理可证，△HDG≌△FME， ∴ME＝DG＝x，FM＝HD＝4.
在Rt△HDG中，HG＝4＋x＝16＋x， ∵HG＝HE，∴HE2＝HG2＝16＋x2. 在Rt△HAE中，
AE?HE2?AH2?16?x2?12?x2，
2
2
2
2
y D H A E B 图乙 G C F M x ∴AM＝AE＋EM＝12?x2?x， ∴点F的坐标为（12?x2?x，4）. （3）依题意，可知HD＞HA.即：
①当点G与点D重合时，m最小，此时x＝0， ∴m＝12?x2?x＝23.
②当点E与点B重合时，m最大，此时HG2＝HB2＝22＋62＝40， ∴DG＝x＝40?16?24?26，
∴m＝12?x2?x＝12?24?26?6?26.
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题2、【原题出处】（2007年.江西）
如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
【原题解析】：本题以一道作图题的形式出现，打破了以往作
图题的范畴，它强调只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，使得此题不是纯粹的作图题，实际上是一道几何的证明题，它需要综合运用矩形的性质“矩形的对角互相平分”和等腰三角形的三线合一的性质，才能完成。只有知道AB和EF的交点在等腰△AOB的顶角平分线上，才能达到解决问题的目的。
【改编意图说明】：孙维刚老师提出：要站在知识系统的高度来进行数学教学，做到多题归一、一题多解。本题组的设计，就是“多题归一”的一个体现。我将原题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，不同图形的出现与变化，形式上变了，但本题的解题思路一样，实质没有变化。只要大家掌握了解决原题的方法，就能很快找到其解决办法。虽然它们各自用不同知识解决同一问题,对学生的思维得以发散。
改编1、如图9，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
改编2.如图10，已知∠AOB，E、F分别在OA、OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
改编3.如图11，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
图1
图2
图3
图4
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题3、【原题出处】（2006年佛山市课改实验区中考试题第24题）
已知：在四边形ABCD中，AB＝1，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH。设四边形EFGH的面积为S，AE＝x(0≤x≤1)。 (1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，
<1>求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S0；
<2>在图②中画出<1>中函数的草图，并估计S＝0.6时x的近似值(精确到0.01)； (2)如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A＝30°时，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。
【原题解析】：此题是一道几何与函数的相结合的运动综合题，意图是考查迅速对数形结合、函数思想的应用能力。试题让学生在运动变化中探究数学问题的本质，去发现变量之间互相依存的函数关系，培养学生的数学能力。试题第（1）问运用三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等几何知识给予解答；第（2）问根据图形的面积关系，运用勾股定理列出函数关系式，然后用配方法求最值；第（3）问已知函数值S，求对应的自变量t的值。
改编1：在边长为1cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分
AEG
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A E (第24题图①) H F H A E B F D
G
C
y 方格边长0.1 D G C
B x O (第24题图②) (第24题图③)
HDC?D，D?A的方向同时出发，以1cm/s的别按A?B，B?C，BFC
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