第三节 函数的奇偶性与周期性

[过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )

A．－50 C．2

解析：选C ∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．

由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是( )

A．增函数 C．先增后减的函数

B．减函数

D．先减后增的函数 B．0 D．50

解析：选D 根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a

－1|

)＞f(－2)，则a的取值范围是________．

解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)， ∴f(2

|a－1|

)＞f(2)，∴2

|a－1|

＜2＝2，

1211113

∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜. 2222213?答案：??2，2?