11.5 离散型随机变量及其分布列
核心考点·精准研析
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;③测量一批电阻,在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X;④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④ 2.若随机变量X的概率分布列为
X P x1 p1 x2 p2
且p1=p2,则p1等于 ( )
A. B. C. D.
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加竞赛,用ξ表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于A.P(ξ=1) C.P(ξ≥1)
B. P(ξ≤1) D. P(ξ≤2)
的是
( )
4.已知随机变量X的概率分布为P(X=i)==________.
(i=1,2,3,4),则P(2 【解析】1.选A,①②的变量所有取值可以一一列举,是离散型的,③④中的变量取值不可以一一列举,为区间内的连续型的变量. 2.选B.由p1+p2=1且p2=2p1,可解得p1=. 3.选B.因为P=,P=, 所以P=P+P. 4.因为由分布列的性质得 +++=1,所以a=5, 所以P=P+P=+=. 答案: 1.判断离散型随机变量的方法 判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出,具体方法如下: (1)明确随机试验的所有可能结果. (2)将随机试验的结果数量化. (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是. 2.离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值; (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率; (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 考点二 两点分布、超几何分布 【典例】1.某学校调查高三年级学生的体育达标情况,随机抽取了一班10人,二班15人,三班12人,四班13人,四个班的达标人数分别为9,14,11,12,以这四个班的平均达标率为高三年级的达标率,若达标记1分,不达标记0分,求高三年级的一个学生的得分X的分布列. 2.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将 参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列. 【解题导思】 1. (1)先求出这四个班的平均达标率,作为高三学生的达标率. (2)因为X的取值为1,0,联想到两点分布. 2. 序号 接受甲种心理暗示的志愿者 (1) 包含A1但不包含B1的概率 (2) 求X的分布列 用古典概型概率公式求X取每个值时的概率 求从除了A1与B1外的8人中取4人的方法数 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 先写出X的所有取值0,1,2,3,4 题目拆解 求从6男4女中取5人的方法数 【解析】1.由题意可得这四个班的平均达标率为=0.92, 所以依此估计一个高三学生的达标率为0.92,不达标率为1-0.92=0.08, 所以高三年级的一个学生的得分X的分布列为 X 1 0 P 0.92 0.08 2.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , =. P(X=2)==,P(X=3)==, P(X=4)==.因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 求超几何分布的分布列的步骤 1.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为 A. ( ) B. C. D. 【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.取到的10个球中恰有6个红球,即X=6,P(X=6)= 数为80+20=100). 2.根据以往数据测得一个学生投篮一次,投中的概率为0.44,设他投篮一次,投中记1分,否则记0分,求他的得分X的分布列. 【解析】因为P(X=1)=0.44,所以P(X=0)=1-0.44=0.56,所以他的得分X的分布列为 X 1 0 (注意袋中球的个
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