P 0.44 0.56 考点三 离散型随机变量的分布列的综合问题 命 题 精 解 读 学 (1)明确随机变量的取值,掌握分布列的性质 霸 考什么:(1)重点考查求离散型随机变量的分布列. (2)与数列、函数等知识交汇考查分布列问题
怎么考:以统计、古典概型等实际问题为背景考查求离散型随机变量的分布列,常常以解答题形式考查,两点分布多数是以选择题或填空题形式考查,超几何分布以解答题的形式考查 新趋势:结合新背景,与数列、函数等知识交汇考查分布列问题 1.解答有关分布列问题时的注意点 (2)求分布列时逐一求出随机变量的各个取值对应的概率,并把所有概率相加所得和是1加以好 验证. 方 2.交汇问题 法 解决分布列与统计、数列、函数等知识交汇问题,注意拆分到各个知识块中,各个击破. 以统计知识为背景考查分布列
【典例】某校暑假开展“名师云课”活动,获得广大家长和学生的高度赞誉,其中数学学科推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:
点击量(单位:千) 节数 [0,1] 6 (1,3] 18 (3,+∞) 12 (1)现从36节云课中按照点击量采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3千的节数;
(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1,3]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3千,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列. 【解析】(1)根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3 千的节数为 ×6=2.
(2)由分层抽样可知,(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1]内的有1节,点击量在区间
(1,3 ]内的有3节,点击量在(3,+∞)内的有2节,故X的可能取值为0,20,40,60. P(X=0)=
=
,P(X=20)=
=
=,
P(X=40)===,P(X=60)===,
则X的分布列为
X 0 20 40 60 P
求分布列的关键和关注点是什么?
提示:求离散型随机变量的分布列的关键和关注点
(1)关键:求随机变量取值所对应的概率,在求解时,常用随机变量取值的频率来估计概率. (2)关注点:求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.
以古典概型为背景考查分布列
【典例】为振兴旅游业,四川省2019年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公
司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客.在
省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.
(1)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列.
【解析】(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.设事件B为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,
事件A1为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,事件A2为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”. P(B)=P(A1)+P(A2)
=+=+=,所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者
少于2人的概率是.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3, P(ξ=0)=
=
,P(ξ=1)=
=
,P(ξ=2)=
=
,P(ξ=3)=
=
,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P 分布列与函数、数列等知识的交汇问题
【典例】(1)由离散型随机变量
3
X的分布列得知
P=p，则当p= _________ 时，P取
到最大值.
(2)随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 … n … P … pn … ①求pn；②若P<，求n的最大值.
【解析】(1)设f=p
3
，
则f′=3p
2
+p
3
=p
2
，
由f′=0，得p=，
当p∈时，f′>0，f是增函数，
当p∈时，f′<0，f是减函数，
所以当p=时，f取到最大值f，P取到最大值f.
答案：
(2)①因为p1=，p2=，p3=，p4=，所以归纳得pn=.
②因为pn==-，所以由已知得p1+p2+p3+…+pn<，即-+-+-+…
+-<，所以1-<，
解得n<2 019，
因为n是正整数，所以n的最大值为2 018.
1. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.
(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;
(2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.
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