高考数学一轮复习教学案变化率与导数导数的计算

第十一节

变化率与导数、导数的计算

[知识能否忆起]

一、导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δy＝Δlim 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，x→0ΔxΔxf?x0＋Δx?－f?x0?Δy＝Δlim . Δxx→0Δx即f′(x0)＝Δlim x→0

(2)几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝Δlim x→0

f?x＋Δx?－f?x?

为f(x)的导函数．

Δx

二、基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex 1f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ x－三、导数的运算法则

1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； 3.?

f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x?

′＝(g(x)≠0)． ?g?x??[g?x?]2

(理)4.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝( ) A．0 C．2e

B．e D．e2

解析：选C ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.

2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( ) A．2 1C. 2

B．－2 1D．－

2

1

解析：选A 依题意得y′＝1＋ln x，y′ |x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.

a1

3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它

2的加速度是( )

A．14 m/s2 C．10 m/s2

B．4 m/s2 D．－4 m/s2

解析：选A 由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．

4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′ |x＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0

5．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x

＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案：－xsin x 1.函数求导的原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导

法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与

联系

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，

是唯一的一条切线．

(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

典题导入

[例1] 用定义法求下列函数的导数． 4(1)y＝x2； (2)y＝2. x

Δyf?x＋Δx?－f?x?

[自主解答] (1)因为＝ ΔxΔx?x＋Δx?2－x2

＝ Δx

x2＋2x·Δx＋?Δx?2－x2＝＝2x＋Δx，

Δxx→0 所以y′＝Δlim

Δy

x→0 (2x＋Δx)＝2x. ＝ΔlimΔx

利用导数的定义求函数的导数 (2)因为Δy＝

4Δx?2x＋Δx?44

－＝－， 2

?x＋Δx?2xx2?x＋Δx?2

2x＋ΔxΔy

＝－4·2， Δxx?x＋Δx?2x→0 所以Δlim

?2x＋Δx?Δy8

Δx→0－4·＝lim ?＝－. ?Δxx3x2?x＋Δx?2

?

?

由题悟法

根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf?x0＋Δx?－f?x0?

(2)求平均变化率＝；

ΔxΔx(3)计算导数f′(x0)＝liΔm x→0

Δy

. Δx

以题试法

1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.

(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s＝8－3t2，

∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， v＝

Δs

＝－6－3Δt. Δt

(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度 v＝liΔm t→0

Δs

＝liΔm (－6－3Δt)＝－6. t→0Δt

法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度 v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t. 当t＝1时，v＝－6×1＝－6.

典题导入

[例2] 求下列函数的导数． ex＋1

(1)y＝xsin x；(2)y＝x；

e－1

2

导数的运算 [自主解答] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.