即∠DOG=∠COE, ∴△DOG≌△COE;
(2)∵DG⊥BD,AC⊥BD, ∴DG∥AC,
∴∠GDM=∠OAM,
∵∠DMG=∠AMO, ∴△GDM∽△OAM,
AMAO?DG ∴DM1∵AD=2,AM=2
∴DM=1.5, ∵AO=2, ∴GD=32, ∴Rt△OGD中, 222OG=OD+DG ∴OG=25 ∴正方形OEFG的边长为25 【知识点】三角形全等,三角形相似,正方形的性质,勾股定理 24.(2019湖南省株洲市,24,8分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,等腰△OAB的边OB与反比例函数
y?m(m?0)的图像相交于点C,其中OB=AB,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(2,4),过点C作xCH⊥x轴于点H.
(1)己知一次函数的图像过点O,B,求该一次函数的表达式;
(2)若点P是线段AB上的一点,满足OC=3AP,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连结OP,记△OPQ的面积
为S△OPQ,设AQ=t,T=OH2﹣S△OPQ.①用t表示T(不需要写出t的取值范围);②当T取最小值时,
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求m的值.
、
【思路分析】(1)∵直线OB过原点,∴直线OB为正比例函数图像,设直线yOB=kx,∵B(2,4)∴yOB=2x;
(2)①如图,作BM⊥x轴于M,∵BO=AB,∴OM=MQ=2,A(4,0)∵CH∥BM∥PQ,∴△OCH∽△APQ∽OBM∴
PQCHBMOHCHOC???2,???3,所以PQ=2AQ=2t,AP=PQ2?AQ2?5t,∴T=OH2﹣AQOHOMAQPQAPS△OPQ=(3t)?21(4?t)g2t=4t2-4t 232
3, ②∵T=4t-4t,∴t=0.5时,T最小=-1,此时OH=3t=2,CH=2OH=3gCH所以m=OH=
2
【解题过程】解:(1)设直线OB解析式为:y=kx+b,将O(0,0)B(4,2)代入得,
∴yOB=2x
(2)①如图,作BM⊥x轴于M,
∵BO=AB,
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∴OM=MQ=2,A(4,0) ∵CH∥BM∥PQ,
∴△OCH∽△APQ∽OBM
PQCHBMOHCHOC???2???3AQOHOMAQPQAP∴,,
22PQ?AQ?5t,
所以PQ=2AQ=2t,AP=1(3t)2?(4?t)g2t22
2∴T=OH﹣S△OPQ==4t-4t
32
②∵T=4t-4t,∴t=0.5时,T最小=-1,此时OH=3t=2,CH=2OH=3, 3CH=2 ∴m=OHg【知识点】一次函数图像,反比例函数,二次函数,三角形相似
25.(2019湖南省株洲市,25,10分)(本题满分10分)四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形,线段AB是⊙O的
直径,连结AC、BD.点H是线段BD上的一点,连结AH、CH,且∠ACH=∠CBD,AD=CH,BA的延长线与CD的延长线相交于点P.
(1)求证:四边形ADCH是平行四边形;
(2)若AC=BC,PB=5PD,AB+CD=2(5+1).①求证:△DHC为等腰直角三角形;②求CH的长度.
【思路分析】(1)由同弧所对的圆周角相等可得∠CBD=∠CAD,由已知∠ACH=∠CBD,∴∠CAD=∠ACH,∴CH∥AD,∵AD=CH,所以四边形ADCH是平行四边形
(2)①∵AB是直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵CH∥AD,∴∠CHD=∠ADB=90°,∵AC=BC,∴∠CAB=45°,∴∠CDB=∠CAB=45°,∴△DHC为等腰直角三角形
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形,∴∠PDA=∠PBC,∵∠P=∠P,∴△PDA∽△PBC,可得
PBBC??5,∵△DHC和△ABC为等腰直角三角形,∴AB=2BC,CD=2CH?2AD,∴PDADAB2BC??5CD2AD∵AB+CD=2(5+1)∴可求得CD=2,从而可求出CH=2
【解题过程】(1)∵∠CBD=∠CAD,∠ACH=∠CBD,
∴∠CAD=∠ACH, ∴CH∥AD,
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∵AD=CH,
∴四边形ADCH是平行四边形
(2)①∵AB是直径, ∴∠ADB=∠ACB=90°, ∵CH∥AD,
∴∠CHD=∠ADB=90°, ∵AC=BC, ∴∠CAB=45°,
∴∠CDB=∠CAB=45°, ∴△DHC为等腰直角三角形
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形, ∴∠PDA=∠PBC, ∵∠P=∠P,
∴△PDA∽△PBC,
PBBC??5PDAD∴,
∵△DHC和△ABC为等腰直角三角形, ∴AB=2BC,CD=2CH?2AD,
AB2BC??52AD∴CD
∵AB+CD=2(5+1) ∴5CD+CD=2(5+1) ∴CD=2, ∴CH=2 【知识点】平行四边形的判定;等腰直角三角形的判定;三角形的相似
26.(2019湖南省株洲市,26,12分)已知二次函数y?ax?bx?c(a?0).
(1)若a=l,b=﹣2,c=﹣1.①求该二次函数图像的顶点坐标;②定义:对于二次函数y?px?qx?r(p?0),
满足方程y?x的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证:二次函数y?ax?bx?c有两个不同的“不动点”. (2)设b=
22213c,如图所示,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴分别相交于2不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x20,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正
>半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足
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