-2013年全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算43?22?41?242?（ ）

（A）2?1 （B）1 （C）2 （D）2 【答案】（B）

【解析】原式=4（2+1）?(42?3)?4(2?1)?(42?3)?1，故选（B）.

2.满足等式?2?m?m2?m?222?1的所有实数m的和为（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】（A）

【解析】分三种情况进行讨论：

（1）若2?m?1，即m?1时，满足已知等式； （2）若2?m??1，即m?3时，?2?m?m2?m?2?(?1)4?1满足已知等式；

?2?m?02?m??1m?1m?3 （3）若，即且时，由已知，得?2解得，m??1

?m?m?2?0 故满足等式?2?m?m2?m?2?1的所有实数m的和1?3?(?1）=3，故选（A）.

?3.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，?CAB?15，?ABC的平分线交圆O于点D，若CD?3，则AB=（ ） （A）2

（B）6 （C）22 （D）3

【答案】（A）

【解析】连接OC,过点O作ON?CD于点N，则

CN?DN?3?,OC?OA,从而?OCA??CAB?15,由AB是圆O的直径，得2?ACB?90?,因CD平分?ACB,故?ACD?45?,?OCN??ACD??OCA?30?,

在Rt?ONC中，∵cos?OCN?2CN3?,∴OC?1,∴AB?2OC?2,故选（A）. OC24.不定方程3x?7xy?2x?5y?17?0的全部正整数解(x,y)的组数为（ ） （A）1 （B）2

【答案】（B）

（C）3 （D）4

?3x2?2x?17【解析】由3x?7xy?2x?5y?17?0，得y?，因x,y为正整数，

7x?52故x?1,y?1，从而7x?5?0,于是?3x?2x?17?7x?5，3x?5x?22?0，即

22(x?2)(3x?11)?0，由x?1，知3x?11?0，故x?2?0，x?2，故x?1或x?2

当x?1时，y?8；当x?2时，y?1.

故原不定方程的全部正整数解(x,y)有两组：(1,8)，(2,1),故选（B）.

5.矩形ABCD的边长AD?3,AB?2,E为AB的中点,F在线段BC∶2，AF分别与DE,DB交于点M,N,则MN=（ ） 上,BF∶FC?1（A）

355595115 （B） （C） （D） 7142828【答案】（C）

BF1?,故 FC2BFBF11FNBF1??,BF?AD?1,因BF∥AD,故?BNF∽?DNA,故??,故DABC33ANDA31131FN?AN??AF?AF.延长DE,CB交于点G,则由E为AB的中点，知

3344?ADE≌?BGE,故BG?AD?3,FG?BF?BG?1?3?4,因FG∥AD,故

AMAD333?AMD∽?FMG,故??，故AM?FM?AF,于是

FMFG447【解析】因

MN?AF?AM?FN?AF?319995AF?AF?AF?AB2?BF2?, 74282828故选（C）.

6.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n为“好数”那么，所有“好数”之和为（ ） （A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014 【答案】（B）

【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.

设不超过n的正整数中，质数的个数为an,合数的个数为bn,当n?15时，列表如下（只考虑n为奇数的情况）：

由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.

因b15?a15?2，当n?16时，在n?15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有bn?an?2, 故当n?16时，n不可能是“好数”.

因此，所有的“好数”之和为1?9?11?13?34，故选（B）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数x,y,z满足x?y?4,z?1?xy?2y?9,则x?2y?3z? . 【答案】4

【解析】由x?y?4,得x?4?y，代入z?1?xy?2y?9，得

z?1?(4?y)y?2y?9??y2?6y?9??(y?3)2?0，故(y?3)2?0，

又(y?3)2?0，故(y?3)2?0，故y?3,z??1,x?1，于是x?2y?3z?4.

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n3(n?2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= .

【答案】8

【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为6(n?2)2个，任何面都不是红色的

323小正方体的总数为(n?2)个，依题意有6(n?2)?(n?2)，解得n?8(n?2舍去).

??3.在?ABC中，?A?60,?C?75,AB?10，D,E,F分别在AB,BC,CA上，则

?DEF的周长最小值为 . 【答案】56 【解析】分别作点E关于AB,AC的对称的P,Q. 则DE?PD,EF?FQ.连接AE,AP,AQ,DP,FQ,PQ,

??则?PAQ?120,且AP?AE?AQ,从而?APQ?30，

1PQ故2?cos30?，PQ?3AP,过点A作AH?BC于点H,则

APAH?AB?sinB?10?sin45??52，于是?DEF的周长为

l?DE?DF?EF?PD?DF?FQ?PQ?3AP?3AE?3AH?56 当且仅当点E与点H重合，且P,D,F,Q四点共线时取得等号，即?DEF的周长

lmin?56. 4.若实数x,y,z满足x2?y2?z2??xy?yz?zx??8，用A表示x?y,y?z,z?x的最大值，则A的最大值为 . 【答案】463 【解析】由已知，得(x?y)2?(y?z)2?(z?x2)?16，不妨设A?x?y，则A2?x?y2?(y?x)2??(y?)z?(z??x)2???2(y?2z)?(z?2??x)???216?(x?2??y)解得A?463.当且仅当x?y?463,y?z?z?x?263时取等号. 故A的最大值463. 第二试（A）

一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a2?3c2?2b2?3d2??ad?bc?2?6,求?a2?b2??c2?d2?的值.

解：设m?a2?b2,n?c2?d2，则2m?3n?(2a2?3c2)?(2b2?3d2)?12.

因?2m?3n?2??2m?3n?2?24mn?24mn，即122?24mn，故mn?6 ○1

又因为

mn??a2?b2??c2?d2??a2c2?b2d2?a2d2?b2c2??ac?bd?2??ad?bc?2

故mn??ad?bc?2?6 ○2

由○1，○2可得mn?6.即?a2?b2??c2?d2??6

注：符合条件的实数a,b,c,d存在且不唯一，应满足

??ac?bd?0(1)?2a2?2b2?3c2?3d2?(2)?2a2?3c2?2b2?3d2?6(3) 由（1）得ababd??c，令d??c?t，则

??(ad?bc)2?6(4)?2(162?A) a?dt,b??ct，代入（2）得t?66或t??，于是 22a?666622，得c?d?2， d,b??c或a??d,b?c，代入（3）或（4）

22222,b?1,c?623就是一组. ,d??33故符合条件的实数a,b,c,d存在且不唯一，如a?又如a?66,b??,c?1,d?1也是一组，当然还有很多组. 22二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B,C作圆O的切线，交于点P，连接AC，若OP?9PBAC，求的值. 2AC解：连接OC，因为PC,PB为圆O的切线，所以?POC??POB 因为OA?OC,所以?OCA??OAC,因为?COB??OCA??OAC，

所以2?POB?2?OAC,所以?POB??OAC,所以OP∥AC

连接BC,因AB为圆O的直径，PB为圆O的切线，故?ACB??OBP?90 又?POB??OAC，所以?BAC∽?POB，所以又OP??ACAB?. OBOP92AC,AB?2r,OB?r（r为圆O的半径），代入,得OP?3r,AC?r. 23在Rt?POB中，由勾股定理,得PB?OP2?OB2?22r,所以

PB22r??32. 2ACr3三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x?x?1?0的一个根，若正整数a,b,m使得等式?at?m??bt?m??31m成立，求ab的值.

解：因为t是一元二次方程x?x?1?0的一个根，显然t是无理数，且t?1?t.

22由?at?m??bt?m??31m，得abt?m?a?b?t?m?31m?0，将t?1?t代入，得

22ab?1?t??m?a?b?t?m2?31m?0，即??m?a?b??ab??t??ab?m?31m??0.

222因为a,b,m是正整数，t是无理数，所以?2??a?b?31?m?m?a?b??ab?0，于是可得? 22??ab?31m?m?ab?m?31m?02因此a,b是关于x的一元二次方程x??m?31?x?31m?m?0的两个正整数根，该方程