∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠PCB＝∠A， ∴∠ACO＝∠PCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA， ∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P， ∵∠OCP＝90°， ∴∠P＝30°， ∵OC＝OA＝2， ∴OP＝2OC＝4， ∴
（2）解：如图2中，连接MA．
．
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∵点M是弧AB的中点， ∴
＝
，
∴∠ACM＝∠BAM， ∵∠AMC＝∠AMN， ∴△AMC∽△NMA， ∴
，
∴AM2＝MC?MN， ∵MC?MN＝9， ∴AM＝3， ∴BM＝AM＝3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）分别交x轴、y轴于点A（2，0）、B（0，4），点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D． （1）若a+b＝0． ①求抛物线的解析式；
②当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题；537：函数的综合应用．
【分析】（1）①把A（2，0）、B（0，4）可得关于a，b，c的方程组，结合a+b＝0可求得a，b，c的值，从而得出答案；
②先根据A，B点的坐标得出直线AB解析式，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，
2﹣2m2+2m+4），从而得出PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）+2，
即可得出答案； （2）先求出AB＝2
，PB＝
，将点A坐标代入解析式得b＝﹣2a﹣2，从而得出抛
物线的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，求出x＝1时y的值知D（1，2﹣a），再分和
两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入y＝ax2+bx+c， 得
∵a+b＝0， ∴
，
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；
②设直线AB的解析式为y＝kx+4，则2k+4＝0， ∴k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2， ∴当m＝1时，线段PD的长度最大，此时点P的坐标是（1，2）．
（2）存在．如图2，OB＝4，OA＝2，
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则AB＝
＝2
，
当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，则P（1，2）， ∴PB＝
＝
，
把A（2，0）代入y＝ax2+bx+4得4a+2b+4＝0， 解得b＝﹣2a﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，
当x＝1时，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a， 则D（1，2﹣a）， ∴PD＝2﹣a﹣2＝﹣a， ∵DC∥OB， ∴∠DPB＝∠OBA， ∴当
时，△PDB∽△BOA，即
，解得a＝﹣2，
此时抛物线解析式为y＝﹣2x2+2x+4； 当
时，△PDB∽△BAO，即
，解得a＝﹣，
此时抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
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