2020高考数学二轮复习难点2-12推理与新定义问题教学案理

2019年

【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-12推理与新定义问题教学案

理

随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，推理与“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点．所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐． 一．新定义

以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景．现就相关类型作探讨： 1．新定义集合

所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突

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出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现．下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．

例1．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”.给出下列4个集合：①；②；③；④.其中所有“理想集合”的序号是（ ）

1M?{(x,y)|y?f(x)}(x1,y1)?M(x2,y2)?Mx1x2?y1y2?0MM?{(x,y)|y?}xM?{(x,y)|y?sinx}M?{(x,y)|y?ex?2}M?{(x,y)|y?lgx}

A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】B

的

点都能找到对应的点,使得成立，故正确；③项由图象可得，直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点在曲线上不存在另外一个点，使得成立，故错误；综合②③

uuuruuuruuuruuur(1,0)OA?OB 正确，所以选B.ABOA?OB点评：本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系，数形结合的思想，推理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实质是什么，对于此题而言，通过可得出就是在函数的曲线上找任意一个点都能找到一个点,使得成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题

uuuruuur的关键.x1x2?y1y2?0ABOA?OB

2．新定义函数

例2．【2018湖南株洲两校联考】设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：

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存在[a，b]?D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（ ）f?x??log2?4x?t?

1?1??1??A. B. C. D. ?,??0,1???0,??0,? ??244??????【答案】D

点

评：定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解.

例3．若函数在区间上，，，，，，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）

?1?f(x)A?abc?Af(a)f(b)f(c)f(x)f(x)?xlnx?m?2,e?m

?e?1e2?22e2?21)(,??)(,??)(,??) A． B． C． D．(,eeeee【答案】A

点

评：本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所学知识

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解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比较区间端点的函数值求出最大值，列出关于参数的不等式，进而求得其范围.m 3．新定义数列

例4. 【××市××区2018届质检】设数列满足：①；②所有项；③ ．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说， 是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为

1,1,2,2,3．?an?a1?1an?N*1?a1?a2?????an?an?1????Am??n|an?m,m?N*?Ambmbm?an?an?m?bn??an?

（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；?an??an? （2）设，求数列的伴随数列的前100之和；an?3n?1?an??bn? （3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．?an?nSn?n2?n?cc?an??bn?mTm

思路分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列；（2）根据伴随数列的定义得： ，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前100项以及它们的和；（3）由题意和与的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和．?an?n?1?log3m?m?N*?m?bn?anSnanan?mn?m?2m?N*33212???b?m?b?mTmmm

（3）

∵ ∴ ，当时， ，∴ ，由得： ，∵使得成立的的最大值为，∴ ，当时： ，

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当时： ，当时： ，∴

a1?S1?1?c?1c?0n?2an?Sn?Sn?1?3n?2an?3n?2n?N*an?3n?2?m??n?m?2m?N*an?mnbmb1?b2?b3?1,b4?b5?b6?2,???,b3t?2?b3t?1?b3t?tt?N*3????m?3t?2t?N1??t?1?2?*?Tm?3?1??t?1?23t2?t1??t?1??t???m?1??m?2?m?3t?1t?N*26??Tm?3?3t2?t1??t?1??2t???m?1??m?2?m?3tt?N*26??*3t?t1?t1Tm?3??t??m?m?3?Tm?{226?2??m?1??m?2?6?m?3t?2或m?3t?1,t?N?6m?m?3?

?m?3t,t?N?*点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题． 4． 定义新运算型

例5．【四川省××市2018届12月月考】定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（ ）a?b?{a,a?bb,a?b f?x??2x?x2?4x?3g?x??f?x??mm

A. B. C. D. ?0,1??0,1??1,3??1,3? 【答案】A

点评：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问