也可以根据首位数字分别是1、2、3、4、5，画5个树状图，然后相加总共有：6?9?12?9?6?42个
模块二、树形图法、标数法及简单的递推
一、树形图法
“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．
【例 14】 （难度等级 ※※※）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经
过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？(2005年《小数报》数学邀请赛)
【解析】 如图，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式． 同理，A第一次传给C，也有5种不同方式．
所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5?5?10种．
BAABACBCCBBCCA
【巩固】 （难度等级 ※※※）一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，
则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
【解析】 6种，如图，第1步跳到B，4步回到A有3种方法；同样第1步到C的也有3种方法．根据加法原
理，共有3?3?6种方法．
BAABCCBAAA
【例 15】 （难度等级 ※※※）甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜
三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？
【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：
7-1.加法原理.题库 教师版 page 9 of 21
图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．
二、标数法
适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．
【例 16】 （难度等级 ※※）如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？
13216311041ECFB1BDGA
A
【解析】 图中B在A的右上方，因此从A出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到
达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的．那么，如果最后到达了B，只有两种可能：或者经过C来到B点，或者经D来到B点，因此，到达B的走法数目就应该是到达C点的走法数和到达D点的走法数之和，而对于到达C的走法，又等于到达E和到达F的走法之和，到达D的走法也等于到达F和到达G的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从A点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数．如图所示，使用标号方法得到从A到B共有10种不同的走法．
【巩固】 （难度等级 ※※）如图，从A点到B点的最近路线有多少条？
B111432110631201041B
A
A
【解析】 使用标号法得出到B点的最近路线有20条．
7-1.加法原理.题库 教师版 page 10 of 21 【例 17】 （难度等级 ※※）如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南
角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．
B1111AB515355581120410202026393610C613234567CA111111
【解析】 本题是最短路线问题．要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般采用标数法．如
上图所示，共有120种．
另解：本题也可采用排除法．由于不能经过C，可以先计算出从A到B的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果．
对于从A到B的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而对于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从而该路线也就确
6定了．这就说明从A到B的最短路线的条数等于从10次向右或向上里面选择6次向右的种数，为C10．
m一般地，对于m?n的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有Cm?n种．
6本题中，从A到B的最短路线共有C10种；从A到C的最短路线共有C62种，从C到B的最短路线共222有C4种，根据乘法原理，从A到B且必须经过C的最短路线有C6种，所以，从A到B且不经?C4622过C的最短路线有C10?C6?C4?210?90?120种．
【例 18】 （难度等级 ※※※）如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？
【解析】 1、方格图里两点的最短路径，从位臵低的点向位臵高的点出发的话，每到一点（如C、D点）只能向前或者向上．
2、题问的是经过C点，或者D点；那么A到B点就可以分成两条路径了 A--C---B；A---D---B，那么也就可以分成两类．但是需要考虑一个问题——A到B点的最短路径会同时经过C和D点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现C、D不会同时出现在最短路径上了．
3、A---C---B，那么C就是必经之点了，就需要用到乘法原理了．A---C，最短路径用标数法标出，同样C---B点用标数法标注，然后相乘
A---D---B，同样道理．最后结果是735+420=1155条．
【例 19】 如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有 条. 【解析】 到各点的走法数如图2所示.
7-1.加法原理.题库 教师版 page 11 of 21 D61218D66C611A3216B31BAC
图1 所以最短路径有18条.
图2
【例 20】 小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每
次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．
P人工湖B超市ADEC
【解析】 本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家P点到A、B、C、D、E点的不同路线有
多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．
因为，从小王家P点到A点共有不同线路84条；到B点共有不同线路56条；到C点共有不同线路71条；到D点共有不同线路15条；到E点共有不同线路36条．所以，少年宫在B点处．
【例 21】 （难度等级 ※※※）在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短
路线有多少种？
AA11111123456131415516111151111111122B
1B
【解析】 因为B在A的右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它
左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从A到B的最短路线有22条．
【例 22】 （难度等级 ※※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少
条？
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