人教版高一数学必修一教案

超越中小学培训——高中数学

[提出问题] 给出下列集合：

A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A?B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不在A中． [导入新知] 真子集的概念 定义 记法 图示 结论 [化解疑难] 对真子集概念的理解 (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A. (2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集. [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集． [导入新知] 空集的概念 定义 记法 规定

如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集 记作AB(或BA) (1)AB且BC，则AC； (2)A?B且A≠B，则AB 空集 我们把不含任何元素的集合，叫做空集 ? 空集是任何集合的子集，即??A 21

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特性

[化解疑难]

(1)空集只有一个子集，即它的本身，??? (2)A≠?，则?A ?与{0}的区别 (1)?是不含任何元素的集合； (2){0}是含有一个元素的集合，?{0}． [例1] (1)下列各式中，正确的个数是( ) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1 C．3 (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． (1)[解析]对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B. [答案] B (2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N

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集合间关系的判断 B．2 D．4 M.

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[类题通法]

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断．

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集； 若既有A?B，又有B?A，则A＝B. (2)数形结合判断． 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． [活学活用] 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( ) 解析：选B 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示. 有限集合子集的确定 [例2] (1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( ) A．6 C．8 (2)满足{1,2}B．7 D．9 M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个． [解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为?，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B. (2)由题意可得{1,2}M?{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；

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含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． [答案] (1)B (2)7 [类题通法]

公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． (5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A?B?C，则符合条件的集合B有2m－n个． [活学活用] 非空集合S?{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个． 解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则( ) 集合S中含有1个元素：{3}； 集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}； 集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}； 集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}； 集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合S共有7个． 答案：7 集合间关系的应用 [例3] 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围． [解] 当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3； ???a＋3≥2a，?a＋3≥2a，当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，可得?或?解得a4， －4或2

综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2. [类题通法]

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