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[提出问题] 给出下列集合:
A={a,b,c},B={a,b,c,d,e}. 问题1:集合A与集合B有什么关系? 提示:A?B. 问题2:集合B中的元素与集合A有什么关系? 提示:集合B中的元素a,b,c都在A中,但元素d,e不在A中. [导入新知] 真子集的概念 定义 记法 图示 结论 [化解疑难] 对真子集概念的理解 (1)在真子集的定义中,AB首先要满足A?B,其次至少有一个x∈B,但x?A. (2)若A不是B的子集,则A一定不是B的真子集. [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1:含有32天的月份存在吗? 提示:不存在. 问题2:集合T存在吗?是什么集合? 提示:存在,是空集. [导入新知] 空集的概念 定义 记法 规定
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集 记作AB(或BA) (1)AB且BC,则AC; (2)A?B且A≠B,则AB 空集 我们把不含任何元素的集合,叫做空集 ? 空集是任何集合的子集,即??A 21
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特性
[化解疑难]
(1)空集只有一个子集,即它的本身,??? (2)A≠?,则?A ?与{0}的区别 (1)?是不含任何元素的集合; (2){0}是含有一个元素的集合,?{0}. [例1] (1)下列各式中,正确的个数是( ) ①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0} A.1 C.3 (2)指出下列各组集合之间的关系: ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; ②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; ③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. (1)[解析]对于①,是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以?{0};对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故②③是正确的,应选B. [答案] B (2)[解]①集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB. ③法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.
法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N
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集合间关系的判断 B.2 D.4 M.
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[类题通法]
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断.
首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A?B,否则A不是B的子集; 其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B?A,否则B不是A的子集; 若既有A?B,又有B?A,则A=B. (2)数形结合判断. 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍. [活学活用] 能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( ) 解析:选B 解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得NM,其对应的Venn图如选项B所示. 有限集合子集的确定 [例2] (1)集合M={1,2,3}的真子集个数是( ) A.6 C.8 (2)满足{1,2}B.7 D.9 M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个. [解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个,1个或2个,含有0个为?,含有1个有3个真子集{1},{2},{3},含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3},共有7个真子集,故选B. (2)由题意可得{1,2}M?{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有三个元素:{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5};
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含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个. [答案] (1)B (2)7 [类题通法]
公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集. (2)含n个元素的集合有(2n-1)个真子集. (3)含n个元素的集合有(2n-1)个非空子集. (4)含有n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. (5)若集合A有n(n≥1)个元素,集合C有m(m≥1)个元素,且A?B?C,则符合条件的集合B有2m-n个. [活学活用] 非空集合S?{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S,则6-a∈S”,则这样的集合S共有________个. 解析:由“若a∈S,则6-a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素,则( ) 集合S中含有1个元素:{3}; 集合S中含有2个元素:{2,4},{1,5}; 集合S中含有3个元素:{2,3,4},{1,3,5}; 集合S中含有4个元素:{1,2,4,5}; 集合S中含有5个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合S共有7个. 答案:7 集合间关系的应用 [例3] 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围. [解] 当B=?时,只需2a>a+3,即a>3; ???a+3≥2a,?a+3≥2a,当B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,可得?或?解得a4, -4或2 综上可得,实数a的取值范围为a<-4或a>2. [类题通法] 24
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