6.5三角形内角和定理的证明教案

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§6.5 三角形内角和定理的证明

教学目标

（一）知识认知要求 三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求

掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.

（三）情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲. 教学重点

三角形内角和定理的证明. 教学难点

三角形内角和定理的证明方法. 教学过程

一、巧设现实情境，引入新课

大家来看一机器零件（投影）

为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？ 二、讲授新课

为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验）

用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC??其内角会产生怎样的变化呢？

当点A离BC越来越近时,∠A越来

越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.

三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的. 在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？ 三角形的最大内角不会大于或等于180°.

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看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.

猜一猜：三角形的内角和可能是多少？ 这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，

使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1） （2） （3） （4）

实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. 由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.

但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.

这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.

这时，∠A与∠ACE能重合吗？

这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.

已知，如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）

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∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等） ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 即：∠A+∠B+∠C=180°.

通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.

在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.

小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作） ∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等） ∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C 也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.

即：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.

∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义） ∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等） ∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等） ∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）

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∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°） ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换） 三、课堂练习 四.课时小结

这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它. 五、作业 习题6.6 六、活动与探究

1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图（3）），你还能想出其他证法吗？

（1） （2）

（3）

让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.

［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.

五、作业

教学反思：要培养学生形成流畅的思维方式、变通的思维模式和独创的思维特性，必须在情感领域对学生多加以启迪和引导，充分调动、运用和激励学生的好奇心、冒险心、挑战心和想象力。

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