2020-2021学年山东省高考数学模拟(文)试题及答案解析

所以f?x?在x=1处取得极小值，不合题意. ②当0?a?11?1?时，?1，由(Ⅰ)知f'?x?在?0,?内单调递增， 22a?2a??1??时，f'?x??0， ?2a?可得当当x??0,1?时，f'?x??0，x??1,所以f?x?在(0,1)内单调递减，在?1,?1??内单调递增， 2a??所以f?x?在x=1处取得极小值，不合题意. ③当a?11时，即?1时，f'?x?在(0,1)内单调递增，在 ?1,???内单调递减， 22a所以当x??0,???时，f'?x??0， f?x?单调递减，不合题意. ④当a?11?1?时，即0??1 ，当x??,1?时，f'?x??0，f?x?单调递增, 22a?2a?当x??1,???时，f'?x??0，f?x?单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为a?1. 2考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想. (21)

x2y26??1.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为【答案】(Ⅰ) .

22 4【解析】

试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得. (Ⅱ)(i)设P?x0,y0??x0?0,y0?0?， 由M(0,m)，可得P?x0,2m?,Q?x0,?2m?. 得到直线PM的斜率k?2m?mm?2m?m3m? ，直线QM的斜率k'???.证得. x0x0x0x0(ii)设A?x1,y1?,B?x2,y2?， 直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m.

?y?kx?m?联立 ?x2y2 ，

?1???42整理得2k2?1x2?4mkx?2m2?4?0. 应用一元二次方程根与系数的关系得到x2?x1????18k2?m2?2?2?1?x0??2k2?m2?2?2?1?x0 ，

??18k?32k2?m2?2?22?1??2k?1?x0，

y2?y1??6k?m2?2??18k?1?x02?m??2k?1?x022?m2?2??m??8k?6k2?1??m2?2??18k2?1??2k2?1?x0得到kABy2?y16k2?11?1?????6k??. x2?x14k4?k?应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c， 由题意知2a?4,2c?22， 所以a?2,b?a2?c2?2，

x2y2??1. 所以椭圆C的方程为42(Ⅱ)(i)设P?x0,y0??x0?0,y0?0?， 由M(0,m)，可得P?x0,2m?,Q?x0,?2m?. 所以 直线PM的斜率k?2m?mm? ， x0x0?2m?m3m??. x0x0直线QM的斜率k'?此时

k'??3， kk'为定值-3. k所以

(ii)设A?x1,y1?,B?x2,y2?， 直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m.

?y?kx?m?联立 ?x2y2 ，

?1???42整理得2k2?1x2?4mkx?2m2?4?0.

??2?m2?2?2m2?4由x0x1?可得x1? ， 22k2?12k?1x??0所以y1?kx1?m??2k2k?m2?2?2?1?x0?m，

同理x2??18k2?m2?2?2?1?x0,y2??6k?m2?2??18k2?1?x0?m.

?32k2?m2?2?所以x2?x1??18k2?1?x022?m2?2???2k2?1?x0?2k2?m2?2?22?m2?2???18k2?1??2k2?1?x0?18k22，

y2?y1??6k?m2?2??18k?1?x0?m??1?x0?m??8k?6k2?1??m2?2??1??2k?1?x0 ，

所以kABy2?y16k2?11?1?????6k??. x2?x14k4?k?由m?0,x0?0，可知k>0， 所以6k?61时取得. ?26 ，等号当且仅当k?6k此时m4?8m2?146，即m?，符号题意.

766 . 2所以直线AB 的斜率的最小值为考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.