第1讲 直线与圆
考情解读 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
y－y1x－x1
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴
y2－y1x2－x1和平行于坐标轴的直线)．
xy
(4)截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于
ab坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2?k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
|Ax0＋By0＋C|
(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．
A2＋B2(3)两平行线间的距离：d＝＋C2＝0)．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.
|C2－C1|A＋B
22(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
热点一 直线的方程及应用
例1 (1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
(2)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性． 答案 (1)B (2)C
xy
解析 (1)当直线过原点时方程为2x－5y＝0，不过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由
a2a过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0.
(2)因为m＝1时，两直线方程分别是x－y＝0和x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1，两直线垂直，所以充分性成立；当直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)×m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故选C.
思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．
已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方
程为( ) A．y＝2x＋4 1
B．y＝x－3
2C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 答案 C
解析 由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于直线y＝xy－2??x＋1＝－1
＋1的对称点为B′(x，y)，则有?y＋2x－1
??2＝2＋1
0000
0
0
?x0＝1?
??，即B′(1,0)．因为B′(1,0)?y＝0?0
1－01
在直线AC上，所以直线AC的斜率为k＝＝，
3－121
所以直线AC的方程为y－1＝(x－3)，
2即x－2y－1＝0.故C正确． 热点二 圆的方程及应用
例2 (1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( ) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±3)2＝3 C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±3)2＝4
(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为( ) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
思维启迪 (1)确定圆心在直线x＝2上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为23及圆与l2相切列方程组． 答案 (1)D (2)B
解析 (1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，所以选D. ?a＋2?＋?3?＝r，??
(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>－2，半径为r，得?|2a－4|
＝r，??4＋5
??a＝－1，
解得满足条件的一组解为?
?r＝2，?
2
2
2
所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.
思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，
若|PQ|＝23，则直线l的方程为( ) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0
(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________________． 答案 (1)B (2)x2＋(y－1)2＝10
解析 (1)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，线段PQ的中点为M，由于|PQ|＝23， 易得|CM|＝1. 又|CM|＝|－3＋k|44
＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x233k＋1
＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.
(2)设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，|4×0－3×1－2||AB|222
圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r＝d＋()＝10，故圆C的
242＋?－3?2
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