A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 答案 A
解析 圆的圆心为C(1,0)．由圆的性质知，直线PC垂直于弦AB所在的直线，则kAB＝－即kAB＝－
11
＝－＝1. kPC0－?－1?
1－2
1， kPC
又点P(2，－1)是弦AB的中点， 由直线的点斜式方程得直线AB的方程为 y－(－1)＝x－2， 即x－y－3＝0.故选A.
3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( ) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0 答案 C
解析 圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．
直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.
4．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则m的取值范围是( ) A．[0，＋∞) C．(4，＋∞) 答案 C
解析 由y＝k(x＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m＋4≤0?m≥4.又由方程表示圆的条件，故有m2－4×4>0?m<－4或m>4.综上可知m>4.故选C.
5．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋22＋1总有公共点，则圆C的面积( ) A．有最大值8π B．有最小值2π C．有最小值3π
B．[4，＋∞) D．[2,4]
D．有最小值4π 答案 D
解析 设圆心为(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|， 1
即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝b2，
411
∴圆心为(b2，b)，r＝b2＋1，
44圆心到直线y＝x＋22＋1的距离为 b2
|－b＋22＋1|4b2d＝≤＋1，
42∴b≤－2(22＋3)或b≥2， 1
当b＝2时，rmin＝×4＋1＝2，
4∴Smin＝πr2＝4π.
6．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为( ) A．1 B.答案 D
解析 依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等101
于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，而四边形PACB的面积等于2S△PAC＝2×(
52|PA|·|AC|)＝|PA|·|AC|＝|PA|＝|PC|2－1，因此四边形PACB的面积的最小值是22－1＝3，故选D. 二、填空题
7．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________________．
答案 3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0
解析 依题意，设所求直线l1的方程是3x＋4y＋b＝0，则由直线l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，|b－4|
可得圆心(0，－1)到直线3x＋4y＋b＝0的距离为1，即有＝1，解得b＝－1或b＝9.因此，
5直线l1的方程是3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.
8．(2014·湖北)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____. 答案 2
解析 依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，
3
C．23 D.3 2
则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1， 满足题意， 所以a2＋b2＝2.
π9．(2013·湖北)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1(0<θ<)．设圆O上到直线l的
2距离等于1的点的个数为k，则k＝________. 答案 4
解析 圆心O到直线l的距离d＝
1
＝1，
cos2θ＋sin2θ
而圆O半径为5，所以圆O上到l的距离等于1的点有4个．
10．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是________． 答案 3＋2
kk
解析 依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－，0)位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，
22xy
即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝22，直线AB的方程是＋＝－22|1－0＋2|32
1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的
2232＋2321
最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×22×＝3＋2.
222三、解答题
11．(1)求圆心在x轴上，且与直线y＝x相切于点(1,1)的圆的方程；
(2)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称，求圆C的方程．
1－0
解 (1)根据题意可设圆心(a,0)，则＝－1?a＝2，即圆心为(2,0)，半径r＝?2－1?2＋?0－1?21－a＝2，则所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝2. a－2b－2??2＋2＋2＝0，
(2)设圆心为C(a，b)，则?b＋2
??a＋2＝1，
??a＝0，
所以?又P(1,1)在圆上，
?b＝0，?
所以圆C的方程为x2＋y2＝2.
12．已知圆M的方程为x2＋y2－2x－2y－6＝0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．
(1)求圆O的方程；
→→
(2)圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求DE·DF的取值范围．
解 (1)圆M的方程可整理为(x－1)2＋(y－1)2＝8， 故圆心M(1,1)，半径R＝22. 圆O的圆心为O(0,0)， 因为|MO|＝2<22，
所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆M. 设圆O的半径为r， 因为圆O内切于圆M， 所以|MO|＝R－r， 即2＝22－r， 解得r＝2.
所以圆O的方程为x2＋y2＝2. (2)不妨设E(m,0)，F(n,0)，且m ?x2＋y2＝2，?由? ?y＝0，? ?x＝2，?x＝－2，解得?或? y＝0，y＝0，?? 故E(－2，0)，F(2，0)． 设D(x，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比数列， 得|DE|×|DF|＝|DO|2， 即?x＋2?2＋y2×?x－2?2＋y2＝x2＋y2， 整理得x2－y2＝1. →→ 而DE＝(－2－x，－y)，DF＝(2－x，－y)， →→所以DE·DF＝(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y) ＝x2＋y2－2＝2y2－1. ?x2＋y2<2，?1由于点D在圆O内，故有?22得y2<， 2??x－y＝1， 所以－1≤2y2－1<0， →→ 即DE·DF∈[－1,0)． 13．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.
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