【总结】由于此题中有两个待求物理量，单纯地运用万有引定律或开普勒行星运动定
律难以求解，故而联立两个定律合并求解。同时，再假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出卫星的R3/T2，由开普勒第三定律得知所有绕地球运行的卫星的r3/T2值均相等，找出等量关系即可求解。这种‘虚拟’卫星的思路十分重要，也是此题求解的‘切入口’。
例2：如图4-3所示，在均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
【解析】 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部
分对质点的引力之和，即可求解完整的均质球体对球外质点m的引力
图4-3
此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径
为R/2的小球对近质点的引力F2之和，即F=F1+F2。因为半径为R/2的小球质量M′=4R313?(2)???8M；则FMmMm2?G(d?R/2)2?G8(d?R/2)2，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力为:
【总结】如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这
个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物
F?Gm1m2体之间，但计算万有引力的简单公式
r2却只能适应于两个质点或均匀的球
体。挖去空穴后的剩余部分已不再是均质球了，故不能直接使用上述公式计算引力。 2、必须区别开普勒第三行星定律中的常量K与万有引力定律中常量G的不同 （1）开普勒第三定律中的常量K：
开普勒第三定律中的常量K= r3/T2，对于行星与太阳的天体系统而言，常量K仅与太阳的质量有关而与行星的质量无关。此规律对于其它的由‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统同样适用。常量K仅由‘中心天体’的质量决定而与‘环绕天体’的质量无关。‘中心天体’相同的天体系统中的常量K相同，‘中心天体’不同的天体系统的常量K也不同。“K= r3/T2=常量”的伟大意义在于启发牛顿总结、发现了万有引力定律。
（2）万有引力定律中的常量G：
万有引力定律中的常量G是由万有引力定律F=Gm1m2r2变形求出的，G=F r2/m1m2，数值是G=6。67×10-11
Nm2/Kg2
.是卡文迪许扭秤实验测出的，适用于宇宙间的所有物体。万有引力定律中的常量G的测定不仅证明了万有引力的存在，更体现了万有引力定律在天文研究中的巨大价值。 （3）常量K与常量G的关系：
常量K与常量G有如下关系，K= GM/4π，或者G=4π/GM。K的值由‘中心天体’的质量而定，而常量G则是一个与任何因素无关的普适常量。
例3：行星绕太阳运转的轨道是椭圆，这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道，试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星，绕太阳公转轨道半径的立方与运转周期的平方的比值为常量。论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适用于地球与月球的系统？
【审题】 本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时，只要运用万有引力定律和向心力公式即可证明得出结论。
22
【解析】 因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供，设太阳质
量为M，行星的质量为m，行星绕太阳运转轨道的半径为r，运行周期为T，则，
GMm/r2=m4π2r/T2,故，r3/T2=GM/4π2，即，K= GM/4π2。
显然，由于太阳质量一定，K的数值仅由太阳质量M决定，与其它因素无关。这一结论适用于地球与月球系统，也适用于其它‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统。
【总结】开普勒第三定律中的常量K与万有引力定律中的常量G的这种关系（K= GM/4π2，或者G=4π2/GM）可以用来方便的求解卫星
类的问题，作为一种解题的‘切入口’应在解题过程中予以重视。
3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同
（1）地球对地面物体的万有引力：地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的公式F=Gm1m2决定，其方向总是指向地心。 r2图4-4
（2）地面物体所受的重力：
处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，其大小为mg，方向竖直向下（绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心”）。
地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大-----这种现象不是‘超重’，应该与‘超重’现象严格区别开来。
2
以地球赤道上的物体为例，如图4-4所示，质量为m的物体受到的引力为F=GMm/R ，因此物体与地球一起转动，即以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为 F向=mωR =mR4π/T.因地球自转周期较大，F向必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极M或N上时其重力等于受到的万有引力。
一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小，
2
2
2
有时可以近似认为重力等于万有引力，即mg=Gm1m2。 r2m1m2，而物体在距星体表面高度为h2r在任何星体表面上的物体所受的重力均是mg=G2
处的重力为mg’=Gm1m2/(r+h)
（3）地面物体随地球自转所需的向心力：
由于地球的自转，处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2(ω是地球自转角速度，r是物体与地轴
间的距离，T是地球的自转周期)，其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体，这一向心力在赤道时最大，F大=mω2R（R是地球半径）；在两极时最小，F小=0。
因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图4-5所示．
实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图4-5所示．这个重力与地面对图4-5 物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．
当在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和
Mm4?22牛顿第二定 律可得其动力学关系为G2?N?mR??ma，式中R、M、向?mR2RT?、T分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。
当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即N=0，这时物体
做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转天体也是同样适用的。
（4）万有引力、重力、向心力三者间的关系： 地面物体随地球自转所需向心力F向=mωr=mr4π/T由万有引力F引=GMm/R提供，F向是F引的一个分力，引力F引的另一个分力才是物体的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四边形定则，大小关系是F引≥mg>F向。
例4：已知地球半径R=6.37×106m.地球质量M=5.98×1024Kg,万有引力常量G=6．67×10-11 Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量m=1Kg的物体对弹簧秤的拉力多大？
2
2
2
【审题】对物体受力分析如图4-6所示，弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体
竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力。
【解析】在赤道附近处的质量m=1Kg的物体所受地球的万有引力为 F=GMm/R2=6.67×10-11×5.98×1024×1/ (6.37×106)2 N=9.830N
222
此物体在赤道所需向心力为 F向=mωR=mR4π/T=
2X3.1426
1×（）×6.37×10 N=0.0337 N。
24X60X60此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为F
拉=F-F
向
=（9.830-0.0337）N
图4-6
=9.796N。
由牛顿第三定律可知，物体对弹簧秤的拉力为F拉=9.796N。亦即物体所受到的重力也是9.796N。
【总结】由计算可知，引力F=9.830N远大于向心力F向=0.0337 N，而物体所受重力9.796N与物体所受的万有引力F=9.830N相差很小，因而一般情况下可认为重力的大小等于万有引力的大小。但应该切记两点：①重力一般不等于万有引力，仅在地球的两极时才可有大小相等、方向相同，但重力与万有引力仍是不同的两个概念。②不能因为物体随地球自转
所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别。
例5：地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) 倍
A.
g?ag?aa B. C. D. gaag a【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律，以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质为‘切入口,’即可求出地球转动的角速度。
【解析】设地球原来自转的角速度为?1，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力, N
2表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得F?N?mR?1?ma ①
由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有N?G?mg ② 当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为?2，有F?mR?2 ③ 联立①、②、③三式可得
2?2??1g?a，所以正确答案为B选项。 a【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可。
例6：假设火星和地球都是球体，火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p，火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，那么离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比等于多少？
【审题】解题时要明确以下二点： 一、因为已知火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p以及火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，故可以运用比例法进行求解。
二、所求的是离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比，而不是火星表面与地球表面的重力加速度之比。
?=GＭ火·【解析】 物体的重力来自万有引力，所以离火星表面Ｒ火高处：mg火m/(２Ｒ火)2
22?=GＭ地·m/(２Ｒ地)2，g地?=GM地/4R地?=GM火/4R火。离地对表面Ｒ地高处：mg地 g火?=M火/M地·R地/R火＝P/q2 ?/g地∴g火【总结】 由于引力定律公式中只有乘法与除法，故可以运用比例法进行求解。对星球表面上空某处的重力加速度公式g??22GM?R?h?2?R????g，也可以这样理解：g′和
R?h??2
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