第13章 静电场中的导体
和电介质
P70．
13．1 一带电量为q，半径为rA的金
属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，rC 则图中P点的电场强A 度如何？若用导线将
o rB A和B连接起来，则
P rA A球的电势为多少？B （设无穷远处电势为图14.1 零）
[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为
E?q4??
0r2．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q
时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为
U?q4??．
0rc
13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？
[解答]介质中的
电场强度和电位移R2 S1 Rr 1 是轴对称分布的．在
内外半径之间作一l D 个半径为r、长为lS0的圆柱形高斯面，根ε r 据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电S2 位移通过等于该面
包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．
设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
?d???SD?dS
??SD?dS??D?dS??D?dS?2?rlD，
0S1S2可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外．
13．3 金属
球壳原来带有电量b Q，壳内外半径分别o 为a、b，壳内距球r a 心为r处有一点电
q 荷q，求球心o的电
势为多少？
图14.3 [解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为
U1o?q1?q1Q?q4???? 0r4??0a4??0b
13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，
忽略边缘效应．求
B A C （1）B、Cq 板上的电荷为多少？
图14.4
（2）A板电势为多少？
[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为
q1 = σ1S和q2 = σ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C间的场强为 E2 = σ2/ε0．
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2， ②
即 σ1d1 = σ2d2． ③
解联立方程①和③得
σ1 = qd2/S(d1 + d2)，
所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；
q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．
B、C板上的电荷分别为
qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为
ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9/36π，
因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B板和C板的电势为零，所以
UA = ΔU = 452.4(V)．
13．5 一无限大均匀带电平面A，带
电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？
[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1 + q2 = 0． ①
虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为
σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S， 它们产生的场强大小分别为
E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生
q1 q2
q P
的场强向左，取向右的方向
B A 为正，可得
图14.5 E1 - E2 – E = 0，
即 σ1 - σ2 – σ = 0，
或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为
q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为
120V，两板间相距为σ1 σ2 σ3 σ4 1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？
[解答]由于左板接
地，所以σ图14.6
1 = 0．
由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．
由于两板带等量异号的电荷，所以
σ2 = -σ3．
两板之间的场强为
E = σ3/ε0，
而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为
σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)， σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间
2电容可用公式C?4??0R2RR表示．
2?1（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）
[证明]方法一：并联电容法．在
外球外面再接一个
R2 半径为R3大外球
o 壳，外壳也接地．内R1 球壳和外球壳之间是一个电容器，电R3 容为
C1121?4??01/R1/R?4??RR0
1?2R2?R1外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电
容为
C2?4??101/R．
2?1/R3外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 C?CR21?C2?4??R10R?4??0R2
2?R1?4??20R2R． 2?R1方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
qq`4???0R24???0，
0R1因此感应电荷为
q`??R1Rq． 2根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
E?q`4??2??R1q2， 0r4??0R2r负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
R1R1U?l?R?E?d2R?Edr
2R1??R1qR?(24??2)dr 0R2r?R1q4??(1?1)?(R2?R1)qR2 0R2R1R24??02球面间的电容为
C?qU?4??20R2R．
2?R1
13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1R2 和R2，其间一半充满相R1 对介电常量为εo r的均匀电介质，求电容C为多εr 少？
图14.8 [解答]球形电容器的电容为
C?4??1?1/R?4??R1R201/R0．
12R2?R1对于半球来说，由于相对面积减少了一
半，所以电容也减少一半：
C??0R1R21?2R．
2?R1当电容器中充满介质时，电容为：
C2??0?rR1R22?RR．
2?1由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：
C?C2??0(1??r)R1R21?C2?R．
2?R1 13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．
[解答]假设在
两介质的介面插入d1 ε1 一薄导体，可知两d2 ε个电容器串联，电
2 容分别为
图14.9 C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2． 总电容的倒数为
1?1?1?d1?d2??2d1??1d2CC?， 1C2?1S?2S?12S总电容为 C??1?2S?．
2d1??1d2
13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U；
（2）介质中的电场强度E、电位移D； （3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中
的电场强度和电位R2 S1 r 移是轴对称分布
R1 的．在内外半径之
D 间作一个半径为r、
l 长为l的圆柱形高
ε S0 斯面，侧面为S0，上下两底面分别为
SS2 1和S2．通过高斯面的电位移通量为
?d???SD?dS
??SD?dS??D?dS?1?SD?dS?2?rlD，
0S2高斯面包围的自由电荷为 q = λl， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr， 方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
R2U??E?dl??Edr??LL?dR12??rr ??2??lnR2R． 1电容为 C?q2??lU?ln(R． 2/R1)在真空时的电容为
Cq2??0l0?U?ln(R， 2/R1)所以倍数为C/C0 = ε/ε0．
13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：
（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．
[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为
?d?蜒?SD?dS??SDdS?4?r2D
高斯面包围的自由电荷为q = Q0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = Q0/4πr2， 方向沿着径向．用矢量表示为
D = Q0r/4πr3．
电场强度为
E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3， 方向沿着径向．
由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = (1?1?)Q0rr4?r3． 在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以
D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为
E0 = Q0r/4πε0r3；
极化电荷q1`产生的场强为
E` = q1`r/4πε0r3；
总场强为 E = Q0r/4πε0εrr3． 由于 E = E0 + E`，
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