上海市南洋模范中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析

2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分） 1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动点，则Q点的坐标为 （﹣，

） ．

弧长到达Q

【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由题意可得OQ恰好是角求得Q点的坐标．

【解答】解：点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动长到达Q点， 则OQ恰好是角y=1?sin

=

，

）．

的终边，故Q点的横坐标x=1?cos

=﹣，纵坐标为

弧

的终边，利用任意角的三角函数的定义，

故答案为：（﹣， 2．已知

，则sin2x+3sinxcosx﹣1= ．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式可得sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x=【解答】解：∵

，

，然后分子分母同时除以cos2x求解．

∴sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x

====．

故答案为：．

3．已知sin（

﹣x）=，则sin2x的值为 ．

【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．

【分析】利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（代入即可得到答案． 【解答】解：sin2x=cos（故答案为

4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是 4 ． 【考点】三角方程．

【分析】方程即sinx=0或cosx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π），分别求得x的值，可得结论

【解答】解：方程sin2x=sinx，即2sinxcosx=sinx，即 sinx=0或cosx=． 由sinx=0，x∈[0，2π），可得x=0或π；由cosx=，x∈（0，2π），可得x=x=

．

或

﹣x）=

﹣2x）=1﹣2sin2（

﹣x）=

综上可得，方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内的解的个数是4， 故答案为：4．

5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+an+1=时，等式左边= 1+a+a2 ． 【考点】数学归纳法．

【分析】根据题目意思知：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=

（a≠1）”

（a≠1，n∈N*），验证n=1

在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案． 【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=在验证n=1时，把当n=1代入， 左端=1+a+a2． 故答案为：1+a+a2

6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．

【考点】数列的应用．

（a≠1）”时，

【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后

再由等差数列的通项公式求第5节的容积．

【解答】解：由题设知，

解得∴故答案为：

． =

， ．

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为

．

【考点】等比数列的性质．

【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．

【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列， ∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），

解．

故答案为

8．设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn= ﹣ ． 【考点】数列的求和．

【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1﹣Sn=SnSn+1，项公式即可得出．

【解答】解：∵an+1=SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=SnSn+1， ∴∴数列∴

=﹣1，

是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．

=﹣1，再利用等差数列的通

=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，

解得Sn=﹣． 故答案为： 9．

【考点】极限及其运算．

【分析】由等差数列的前n项和公式，把为出a．

【解答】解：∵∴

=6，

，

=6，进而得到

=6，所以

等价转化，由此能求

，则a= 28 ．

．

=6，