23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|2x?a|?|x?3|(a?R)．
（1）若a??1，求不等式f(x)?1?0的解集；
（2）已知a?0，若f(x)?3a?2对于任意x?R恒成立，求a的取值范围．
山西大学附属中学
2019~2020学年高三第一学期（总第二次）模块诊断
数学试题（理）
考试时间：120分 满分：150分
二、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1 C 2 A 3 A 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 D 11 D 12 A 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 3213．a?4． 14．?4． 15．?2 16．
3三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：（1）等比数列{an}的公比为q，q?1，前n项和为Sn(n?N*),?2S2,S3,4S4成等
a1(1?q3)a1(1?q4)a1(1?q2)?4g?2g差数列，可得2S3?4S4?2S2，即为2g，
1?q1?q1?q111111化为2q2?q?1?0，解得q??，a2?2a3?a4?，即为?a1?2ga1?a1?，
2162481611解得a1??，则an?(?)n，n?N*；
22111111（2）bn??(n?2)log2|an|??(n?2)log2n?n(n?2)，可得? ?(?)，
bnn(n?2)2nn?2211111111即有前n项和Tn?(1?????????)
2324n?1n?1nn?211113111?(1???)??(?)． 22n?1n?242n?1n?218．（1）证明：连接PD交CE于G点，连接FG，Q点E为PA的中点，点D为AC的中点，?点G为?PAC的重心，则PG?2GD，QPF?2FB，?FG//BD， 又QFG?平面CEF，BD??平面CEF，?BD//平面CEF；
（2）解：QAB?AC，PB?PC，PA?PA，??PAB??PAC， 可得PA?2，又QAB?AC，则以AB、AC、QPA?AC，?PA?AB，
AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A?xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，
uuuruuuruuurrBC?(?1,1,0)，BP?(?1,0,2)，CE?(0,?1,1)．设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z)，
rruuu?ngBC??x?y?0r?由?ruuu，取z?1，得n?(2,2,1)．设直线CE与平面PBC所成角为?，则r??ngBP??x?2z?0r2|?2?1|2ruuu．?直线CE与平面PBC所成角的正弦值为． sin??|cos?n,CE?|??662?3119．解：（Ⅰ）Q椭圆离心率为，当P为C的上顶点时，△PF1F2的面积有最大值3．
2?c1?a?2?x2y2?1???2c?b?3，?a?2，b?3，c?1． 故椭圆C的方程为：??1．
243?2?a?b2?c2??x2y2（Ⅱ）设直线PQ的方程为y?k(x?1)，当k?0时，y?k(x?1)代入??1，得：
43(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为N(x0，y0)，
x1?x24k24k2?3ky1?y2?3k，，即x0??N(,)， y??k(x?1)?0023?4k23?4k23?4k223?4k2Q|TP|?|TQ|，?直线TN为线段PQ的垂直平分线；?TN?PQ，则kTNgkPQ??1． ?3k?t2k134k?3?t??gk??1所以，，当时，因为k?04k?…43，
4k2?34k?34k2kk4k2?3?t?(0,333]．当k?0时，因为4k???43，?t?[?,0)．当k?0时，t?0符合1212k33,]． 1212题意．综上，t的取值范围为[?20．解：（1）
x?12?0.04?14?0.12?16?0.28?18?0.36?20?0.10?22?0.06?24?0.04=17.40千元.
（2）有题意，X～N?17.40,6.92?. （i）P(x????)?10.6827??0.8414?????17.40?2.63?14.77时，满足题220.9545?0.9773，得 2意即最低年收入大约为14.77千元
（ii）由P?X?12,14??P?X???2???0.5?每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为?，则?~B10,p，其中
?3?p?0.9773，于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是
P???k??Cp?1?p?4103k103?k?1001?k??p?1从而由，得k?1001p
P???k?1?k??1?p??P???k?而1001p=978.2773，所以，当0?k?978时，P???k?1??P???k?， 当979?k?1000时，P???k?1??P???k?，
由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978 21．【解析】（1）解：∵f?x??e.①当时,②当时,
时,
x?1?kx?2k，∴
时,令f??x??0,解得x??1?lnk,∴当x????,?1?lnk?,
单调递减；当x???1?lnk,???时,
恒成立,∴函数
,
单调递增.
在R上单调递增. 综上,当
时,
在???,?1?lnk?上单调递减,在??1?lnk,???上单调递增.当
在R上单调递增. （2）证明：当数
时,由（1）知函数
,
单调递增,不存在两个零点.所以
.设函
的两个零点为
则,设,
解得
,所以x1?x2?4?,
?t+1?lntt?1,要证,只需证
设
设
在区间
上单调递增,所以
单调递增,所以
,故
．[
,所以
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.解：（Ⅰ）由??2cos?，得?2?2?cos?，则曲线C1的直角坐标方程为x2?y2?2x， 由??2cos(??)，得?2??cos??3?sin?，则曲线C2的直角坐标方程为
33?x?22??x?0?2??x?y?2x22x?y?x?3y?0．由?，解得?或?，
22y?0???y?3?x?y?x?3y?0??233故C1与C2交点的直角坐标为(0,0)，(,)；
22?（Ⅱ）不妨设0????，点M，N的极坐标分别为(?1，?)，(?2，?)．
?|MN|?|?1??2|?|2cos??2cos(???3)|
?|2cos??(cos??3sin?)|?|cos??3sin?|?2|cos(??)|．
3?当???2?时，|MN|取得最大值2． 323．解：(1)当a??1吋，函数f(x)?|2x?1|?|x?3|， 当x?1时，f(x)?1?2x?(x?3)??x?2， 2
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