∴FC＝BD． ∵BD＝8， ∴FC＝4， ∴FG＝4
．
+DE．
∵AE＝AB+4
∵AB＝2，DE＝8， ∴AE≤AF+FG+EG＝10+4
．
．
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4
1、（2019秋?武汉期末）
问题背景：如图（1），在四边形ABCD中．若BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，则AC平分∠BAD．小
明为了证明这个结论，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图．
迁移应用：如图（2），在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，AE+CD＝DE，求证：BD平分∠CDE．
联系拓展：如图（3），在Rt△ABC中，AC＝BC，若点D满足AD＝点，直接写出
的值．
AB，BD＝AB，点P是AD的中
解：问题背景： 如图（1）所示，
作法：延长AD，在AD的延长线上取一点F使DF＝AB，连接CF， 即：△CDF是△ABC绕点C顺时针旋转90°所得； 理由：在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF， ∵BC＝CD，
第13页（共27页）
∴△ABC≌△FDC（SAS）， ∴∠BAC＝∠DFC，AC＝CF， ∴∠CAF＝∠CFD， ∴∠BAC＝∠DAC， 即：AC平分∠BAD；
迁移应用：如图（2），
连接BE，延长DC，在DC的延长线上取一点F，使CG＝AE，连接BG， ∵∠A＝∠BCD＝90°， ∴∠BCG＝90°＝∠A， ∵BC＝AB，
∴△BCG≌△BAE（SAS）， ∴BG＝BE， ∵AE+CD＝DE， ∴CG+CD＝DE， 即：DG＝DE， ∵BD＝BD，
∴△BDG≌△BDE（SSS）， ∴∠BDG＝∠BDE， ∴BD平分∠CDE；
联系拓展：如图3，
连接CP，在PB的延长线上取一点Q，使BQ＝AP，连接CQ， 设AB＝13a， ∵AD＝
AB，BD＝AB，
∴BD＝13a，AD＝10a， ∵点P是AD的中点， ∴BP＝AP＝AD＝5a， ∵BD＝AB， ∴BP⊥AD，
第14页（共27页）
∴∠APD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠APB+∠ACB＝180°， ∴∠CBP+∠CAP＝180°， ∵∠CBP+∠CBQ＝180°， ∴∠CAP＝∠CBQ， ∵AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCG，
∴∠PCQ＝∠PCB+∠BCQ＝∠PCB+∠ACP＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABP中，根据勾股定理得，BP＝∴PQ＝BP+BQ＝12a+5a＝17a， 在Rt△PCQ中，PC＝
PQ＝
a，
＝12a，
∴＝＝．
2、（2019?罗山县一模）请完成下面的几何探究过程： （1）观察填空
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则 ①∠CBE的度数为 45° ；②当BE＝ 2（2）探究证明
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），
第15页（共27页）
时，四边形CDBE为正方形．
把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍到线段CE，连DE，BE，则： ①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明； ②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形 （3）拓展延伸
如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．
解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°，
由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， 在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠A＝45°； 故答案为：45°； ②当BE＝2
时，四边形CDBE是正方形；理由如下：
，
由①得：∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°， 作EM⊥BC于M，如图所示：
则△BEM是等腰直角三角形， ∵BE＝2
，
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∴BM＝EM＝2，
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