∴CM＝BC﹣BM＝2， ∴BM＝CM＝EM，
∴△CME是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°，
∴∠BEC＝45°+45°＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CDBE是矩形， 又∵EM垂直平分BC， ∴BE＝CE，
∴四边形CDBE是正方形； 故答案为：2
；
（2）①∠CBE＝∠A，理由如下： 由旋转的性质得：∠BCE＝∠ACD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴
＝
＝2，
∴△BCE∽△ACD， ∴∠CBE＝∠A； ②∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°， 由①得：△BCE∽△ACD， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， 又∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDBE是矩形；
（3）在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，存在两种情况： ①当CD＝BD时，则∠DCB＝∠DBC， ∵∠DBC+∠A＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD， ∴CD＝BD＝AD，
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∴AD＝AB， ∵AB＝∴AD＝
；
﹣4；
或2
﹣4．
＝
＝2
，
②当BD＝BC＝4时，AD＝AB＝BD＝2
综上所述：若△BCD恰好为等腰三角形，此时AD的长为
3、（2019?庆云县一模）（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝
，PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为 2 ；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为 30° ，综上可得∠BPC的度数为 90° ； （2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝（3）拓展应用
如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．
，PC＝1，求∠APC的度数；
解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）． 由旋转的性质知△CP′P是等边三角形； ∴P′A＝PB＝
、∠CP′P＝60°、P′P＝PC＝2，
）2＝4＝PP′2；
在△AP′P中，∵AP2+P′A2＝12+（∴△AP′P是直角三角形； ∴∠P′AP＝90°． ∵PA＝PC， ∴∠AP′P＝30°；
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∴∠BPC＝∠CP′A＝∠CP′P+∠AP′P＝60°+30°＝90°． 故答案为：2；30°；90°；
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′． 由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形； ∴P′C＝PC＝1，∠CPP′＝45°、P′P＝在△AP′P中，∵AP'2+P′P2＝（∴△AP′P是直角三角形； ∴∠AP′P＝90°． ∴∠APP'＝45°
∴∠APC＝∠APP'+∠CPP'＝45°+45°＝90°
（3）如图3，∵AB＝AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠BAC＝∠DAG， ∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD＝2AB， ∴DG＝2BC＝6， 过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC＝90°， ∴∠GDC＝90°， ∴CG＝
＝
＝
，∴BD＝CG＝
．
）2+（
，PB＝AP'＝）2＝2＝AP2；
，
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4、（2018?河南二模）（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝
，PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为 2 ； 在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为 30° ，综上可得∠BPC的度数为 90° ； （2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝（3）拓展应用
如图3，在四边形ABCD中，BC＝5，CD＝8，AB＝AC＝AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．
，PC＝1．求∠APC的度数；
解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）． 由旋转的性质知△CP′P是等边三角形； ∴P′A＝PB＝
、∠CP′P＝60°、P′P＝PC＝2，
）2＝4＝PP′2；
在△AP′P中，∵AP2+P′A2＝12+（∴△AP′P是直角三角形； ∴∠P′AP＝90°． ∵PA＝PC， ∴∠AP′P＝30°；
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