闽清三中教师教案 集备记录 第二章圆锥曲线与方程 曲线与方程 2.1.1 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法． (二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力． (三)情感态度和价值观 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析 1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．) 2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法． (解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 三、活动设计 提问、讲解方法、演板、小测验． 四、教学过程 (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解 答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 分析： ∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程． 解：连接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2． 由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆． 3．相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)． 例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析： P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系． 解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点． 4．待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求． 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲 曲线方程． 分析： 因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方 ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由学生完成) 由弦长公式得： 即a2b2=4b2-a2． (三)巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的 2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？ 3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案： 义法) 由中点坐标公式得： (四)小结 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍． 五、布置作业 1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程． 2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹． 3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案： 1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线 六、板书设计 教学反思： 椭圆 2.2.1椭圆及其标准方程 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法． ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b?a2?c2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质． ◆能力目标 （1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示． （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力． （3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力． （4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． ◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集P??M|MF1?MF2?2a?． （ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义． y2x2类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程2?2?1?a?b?0?． ab（iii）例题讲解与引申 ?53?例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是??2,0?，?2,0?，并且经过点?,??，求它?22?的标准方程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．
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