专题一 压轴填空题
第七关 以恒成立或有解为背景的填空题
【名师综述】
含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题，主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值. 类型一 分类讨论差函数最值
典例1 若不等式?x?1?1n?x?1??ax?2ax在?0，+??上恒成立，则a的取值范围是
2________. 【答案】?,???
?1?2??（x）?f（'x），?'?x?＝（ⅱ）当a＞0时，令?且
1?2a， x?11??0，，1? x?1112a?1，?2a?0， 即a?时， ?'?x?＝
2x?1（0，??）于是?在x? 上单调递减， （x）（0，??）所以? 即f（上成立． （x）＜（?0）?1?2a?0，'x）＜0 在x?（0，??）则f?x?在x?上单调递减，
故（fx）＜（f0）?0在?0，+??上成立，符合题意．
??1???2a?x???1??111??2a??，0＜2a＜1，即0＜a＜ 时， ?1＞0，?'?x?＝?2a＝22ax?1x?1若x??0，?1?， 则?（ 在x??0，?1?上单调递增； 'x）＞0，（?x）??12a????12a??若在x???1??1? 则?（在x??'x）＜0，（?x）?1，???，?1，???上单调递减，
?2a??2a???12a??又? 则?（0）?1?2a＞0，（x）＞0在x??0，?1?上成立，即f（'x）＞0 在
?1??1?fx）＞（f0）?0在x??0，?1?上恒成立，所以f?x?在x??0，?1?上单调递增，则（?2a??2a?1?1?x??0，?1?上恒成立．与已知不符，故0＜a＜不符合题意．综上所述， a的取值范围
2?2a??1?,???. ??2?即答案为?,???.
【名师指点】f(x)?g(x)恒成立等价与f(x)?g(x)?0恒成立，记G(x)?f(x)?g(x)，则G(x)max?0，本题中由于G(x)有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．
【举一反三】已知函数f(x)?x2(ex?1)?ax3若当x?0时，f(x)?0恒成立，则a的取值范围______． 【答案】[?1,??)
?1?2??类型二 参变分离求具体函数最值
典例2 若不等式ksin2B?sinAsinC?19sinBsinC对任意?ABC都成立，则实数k的最小值为________． 【答案】100
【解析】由正弦定理得kb?ac?19bc?k??2?19bc?ac?? 2b??max219bc?ac?19b?a?c?19b?a??a?b??a??????9???100?100 222bbb?b?因此k?100 ，即k的最小值为100
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“g(a)?h(x)”形式，则只要求出h(x)的最大值M，然后解g(a)?M即可．
22【举一反三】若不等式x?2y?cx?y?x?对任意满足x?y?0的实数x， y恒成立，则
实数c的最大值为__________． 【答案】22?4
当t?2?2时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增; 当1?t?2?2时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。
∴当t?2?2时,f(t)取得最小值, f2?2?22?4. ∴实数c的最大值为22?4.
类型三 数形结合求临界点
??g?x1?f?x2?x2?1xfx?,gx?,?典例3 设函数????x对任意x1,x2??0,???,不等式
xekk?1恒成立，则正数k的取值范围是__________． 【答案】k?1 2e?1【解析】对任意x1,x2??0,???，不等式
g?x1?k?f?x2?k?1恒成立，则等价为
g?x1?f?x2??k恒k?1x2?1111?x??2x??2，当且仅当x?，即x?1时取等号，即f?x?成立， f?x??xxxxxex?xex1?x的最小值是2，由g?x??x，则g'?x???x，由g'?x??0得0?x?1，此时2xeee??函数g?x?为增函数，由g'?x??0得x?1，此时函数g?x?为减函数，即当x?1时， g?x?1g?x1?1k11?取得极大值同时也是最大值g?1??，则的最大值为e?，则由，得
ek?12e22ef?x2?2ek?k?1，即k?2e?1??1，则k?11，故答案为k?. 2e?12e?1【名师指点】f(x)?g(x)等价于在公共定义域区间内，函数y?f(x)的图像落在y?g(x)的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范
围．
??x2?2x,x?0【举一反三】已知函数f(x)??,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是__________.
?ln(x?1),x?0【答案】[?2,0]. 【解析】
【精选名校模拟】
1.对任意的实数x，都存在两个不同的实数y，使得e的取值范围为__________. 【答案】?0，? 【解析】因为e2x?y2x?y?y?x??ae2y?x?0成立，则实数a??1?3e??y?x??ae2y?x?0，所以a?e3x?3y?y?x?，令t?y?x ，则a?e3t
1??1??t?1 ；当时a?0,a???0,3?
e3??e?1? 3?e?t?a??1?t?0?t?1 3te当t?1时a??0,a????,??因此要有两个y，需a??0,??2.定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f(2sinx－2)>f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________． 【答案】???,?2???4,???
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