5.与向量有关的压轴小题
→→→→→
1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
→→→→
解析 方法一 AD·AC＝|AD|·|AC|cos∠CAD， →
∵|AD|＝1，
→→→
∴AD·AC＝|AC|cos∠CAD， π
∵∠BAC＝＋∠DAC，
2
→→→
∴cos∠CAD＝sin∠BAC，AD·AC＝|AC|sin∠BAC，
在△ABC中，由正弦定理得＝，变形得ACsin∠BAC＝BCsin B，
sin Bsin∠BACACBCAD→→→
∴AD·AC＝|AC|sin∠BAC＝BC·＝3，故选C.
BD→→→→→→→→→→→→→→→→
方法二 AD·AC＝AD·(BC－BA)＝AD·BC－AD·BA＝AD·3BD＝3AD·(BA＋AD)＝3AD·BA＋→→
3AD·AD＝3.
2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为点O，且→→→→→
3OA＋4OB＋5OC＝0，则OC·AB的值为( ) 8714A. B. C.－ D. 5555答案 C
→→→
解析 ∵3OA＋4OB＋5OC＝0， →→→∴4OB＋5OC＝－3OA，
→2→→→2→2
∴16OB＋40OB·OC＋25OC＝9OA， →→→
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
1 / 7
43→→→→
∴OB·OC＝－，同理可求OA·OC＝－，
554?3?1→→→→→
∴OC·AB＝OC·(OB－OA)＝－－?－?＝－.
5?5?5故选C.
→→
3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC中，已知AB·AC＝9，sin B＝cos A·sin C，S△ABC＝6，→→CACB→
P为线段AB上的点，且CP＝x·＋y·，则xy的最大值为( )
→→
|CA||CB|
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
解析 由题设sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即sin Acos C＝0，也即cos C＝0， ∴C＝90°，
又∵bccos A＝9，故b＝9，即b＝3. 1
∵ab＝6，故a＝4，c＝5， 2
故建立如图所示直角坐标系xOy，则A(3，0)，B(0，4)，则由题设可知P(x，y)，
2
直线AB的方程为＋＝1且x＞0，y＞0，
34∴＋＝1≥234
xyxyxy3
，即xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时“＝”成立，故选C. 122
→→→
4.(2017·运城期中)已知点O是△ABC内部一点，且满足2OA＋3OB＋4OC＝0，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为( )
A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A
解析 如图所示，延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，
2 / 7
→→→
∵2OA＋3OB＋4OC＝0， →→→
∴OD＋OE＋OF＝0，
即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，
111
不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故△AOB，
6128111
△BOC，△AOC的面积之比依次为∶∶＝4∶2∶3.
6128故选A.
5.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为( ) A.2－1 B.1 C.2＋1 D.2 答案 A
解析 ∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴|a＋b|＝2，
又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝2cos〈a＋b，c〉，
∴|a＋b－c|＝a＋b＋c＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－22cos〈a＋b，c〉， ∴当cos〈(a＋b，c)〉＝1时， |a＋b－c|min＝3－22＝(2－1)， ∴|a＋b－c|的最小值为2－1.
3??6.已知向量m＝(sin 2x，1)，n＝?cos 2x，－?，f(x)＝(m－n)·m，则函数f(x)的最小正
2??周期与最大值分别为( ) A.π，3＋答案 B
5??解析 ∵m－n＝?sin 2x－cos 2x，?，
2??
5152
则f(x)＝(m－n)·m＝sin 2x(sin 2x－cos 2x)＋＝sin2x－sin 4x＋ 222π?12?＝－(cos 4x＋sin 4x)＋3＝－sin?4x＋?＋3， 4?22?2ππ2
∴f(x)的最小正周期T＝＝，最大值为3＋，故选B.
422
→3→2→
7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P是△ABC所在平面内一点，若AP＝BC－BA，则△PBC43与△ABC的面积的比为( )
3 / 7
2π27π
B.，3＋ C.π， D.，3 22222
2
2
2
2
2
2
1123A. B. C. D. 3234答案 A
22→→
解析 在线段AB上取D使AD＝AB，则AD＝－BA，过A作直线l使l∥BC，在l上取点E33→3→
使AE＝BC，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，则由平行四边形法则可
4→3→2→得AP＝BC－BA，
43
设△PBC的高为h，△ABC的高为k，由三角形相似可得h∶k＝1∶3， ∵△PBC与△ABC有公共的底边BC， 1
∴△PBC与△ABC的面积的比为，故选A.
3
8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a，b满足|a|＝22|b|≠0，且关于x的函数
f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是
( )
?π??π??π??ππ?A.?0，? B.?0，? C.?0，? D.?，?
6?3?4?????64?
答案 C
解析 求导可得f′(x)＝6x＋6|a|x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x＋3|a|x＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x＋6|a|x＋6a·b≥0恒成立，即x＋|a|x＋a·b≥0恒成立，
故判别式Δ＝a－4a·b≤0恒成立，再由|a|＝22|b|≠0，可得8|b|≤82|b|cos〈a，b〉， ∴cos〈a，b〉≥
2
， 2
2
2
2
2
2
2
3
2
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
?π?∴〈a，b〉∈?0，?.
4??
→→2
9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M(1，0)，A，B是椭圆＋y＝1上的动点，且MA·MB＝
4→→
0，则MA·BA的取值范围是( )
x2
?6??2??2?A.?，1? B.[1，9] C.?，9? D.?，3?
?3??3??3?
答案 C
→→→
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA＝(x1－1，y1)，MB＝(x2－1，y2)，BA＝(x1－x2，y1－y2)，→→
由题意有MA·MB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
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