（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．
18．证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠E+∠ECA=45°（三角形外角定理）． 又∠ECF=135°，
∴∠ECA+∠BCF=∠ECF﹣∠ACB=45°， ∴∠E=∠BCF；
同理，∠ECA=∠F， ∴△EAC∽△CBF． 19．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD． 又∵∠ADE=45°，
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD． ∴∠EDC=∠BAD． ∴△ABD∽△DCE．
（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意． ②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE， 于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2 ③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．
20．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC， ∴∠ABE=∠ACD
又∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC ∴∠DAC=∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD， 由于∠PBQ=∠BCD=90°， （1）当∠1=∠2时，有：即
（2）当∠1=∠3时，有：
，
；
，
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即，
∴经过
秒或2秒，△PBQ∽△BCD．
22．解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要
或者
∵AB=6，BC=8 ∴只要
设时间为t
则PC=8﹣2t，CQ=t ∴t=
或者t=
；
①当t=
时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC
理由：△ABC∽△PCQ ∴∠BAC=∠CPQ
∵∠BAC+∠ECP=90°， ∴∠EPC+∠ECP=90° 即PQ⊥AC；
②当t=
，△ABC∽△QCP，AC平分PQ
理由：△ABC∽△QCP
∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC ∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC ∴PE=EQ=CE 即AC平分PQ
23．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE．
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理由：∵，
∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵， ∴
，
∴△BAD∽△CAE，
∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC， ∴△AFE∽△BFC． 24．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形， ∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中
∴△ABE≌△DBC（SAS） ∴AE=DC，
∵M、N分别为AE、CD的中点， ∴AM=AE，CN=DC ∴AM=CN；
（2）解：∵△ABE≌△DBC， ∴∠EAB=∠CDB， 在△AMB和△DNB中
∴△AMB≌△DNB（SAS）， ∴∠ABM=∠DBN，
∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°， ∴∠DBN+∠MBD=60°， 即∠MBN=60°；
（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．
25．解：△ABD∽△CBN，
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理由：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，BD⊥AN， ∴∠MBD=∠NBD=∠BNM=∠ABC=45°， ∴
=
=
，
∵∠MBA+∠ABD=45°，∠ABD+∠CBN=45°， ∴∠ABD=∠CBN， ∴△ABD∽△CBN， ∴∠BNC=∠ADB=90°， ∵∠BNA=45°， ∴∠ANC=45°．
26．解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， ∴BD=t，BE=8﹣2t， ∴△BDE∽△BAC时，当△BED∽△BAC时，
==
，即=，即=秒．
，解得t=2.4（秒）； ，解得t=
（秒）．
综上所述，t的值为2.4秒或
27．证明：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD， ∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．
∴△ABE∽△ECF．
∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC． ∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，
∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°． ∴∠AEF=∠B=90°． ∴△ABE∽△AEF．
28．证明：∵∠AEF=∠ABC=90°，∠EAF=∠BAC． ∴△EAF∽△BAC，
=
，即AE?AC=AF?AB．
=
，即AE?AC=AD2，
同理可得，△AED∽△ADC，∴AD2=AF?AB，即
=
，
又∵∠DAF=∠BAD， ∴△AFD∽△ADB．
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