高考文科数学二轮专题复习讲义递推数列及数列求和的综合问题

(1)求数列{an}的通项公式； 1(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. log3an＋1＋log3an＋22131解析：(1)由an＝3Sn＋3，可得Sn＝2an－2， 31当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，则 1??31?3?33????an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1－2＝2an－2an－1，整理得an＝3an－????31(n≥2)，而a＝S＝a－111212，即a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝1×3n－1＝3n－1.故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. 1(2)由(1)得bn＝ log3an＋1＋log3an＋211＝＝ n－1n－1log33＋1＋log33＋2n＋n＋1＝n＋1－n， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1. 考点4 分组转化求和 分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并． [例4] [2019·天津南开附中期中]已知数列{an}是等比数列，满足a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足b2＝4，b4＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式． (2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前n项和． 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q， a424由题意，得q3＝a＝3＝8，解得q＝2， 1∴{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×2n－1， ∴a3＝12. 设等差数列{bn}的公差为d， ∵b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d， ∴12＝4＋2d，解得d＝4. ∴bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4.

故{bn}的通项公式为bn＝4n－4. (2)由(1)知an＝3×2n－1，bn＝4n－4， ∴cn＝an－bn＝3×2n－1－(4n－4)． 从而数列{cn}的前n项和Sn＝3×20＋3×21＋…＋3×2n－1－[0＋41－2nn?4n－4?nn＋8＋…＋(4n－4)]＝3×－＝3×2－3－n(2n－2)＝3×221－2－2n2＋2n－3. 1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组.

『对接训练』

4．[2016·高考全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1 000项和． 解析：(1)设{an}的公差为d，

据已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n.

b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.

??1，10≤n<100，

(2)因为b＝?2，100≤n<1 000，

??3，n＝1 000，

n

0，1≤n<10，

所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.

课时作业10 递推数列及数列求和的综合问题 1．[2018·天津卷]设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6. (1)求{an}和{bn}的通项公式． (2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)， ①求Tn； ②证明． 解析：(1)解：设等比数列{an}的公比为q.由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.由q>0，可得q＝2，故an＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1， 故bn＝n. 所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n. 1－2nn(2)①解：由(1)，有Sn＝＝2－1，故 1－2n2×?1－2?kkTn＝? (2－1)＝?2－n＝－n 1－2k＝1k＝1nn＝2n＋1－n－2. ?Tk＋bk＋2?bk?2k＋1－k－2＋k＋2?k②证明：因为＝ ?k＋1??k＋2??k＋1??k＋2?k·2k＋12k＋22k＋1＝＝－， ?k＋1??k＋2?k＋2k＋1所以， . 2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集为(－1,3)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2＋an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)由题意知，方程a1x2－dx－3＝0的两个根分别为－1和an?12