IIR数字滤波器设计

第一章绪论

IIR滤波器的设计可以利用模拟滤波器许多现成的设计公式、数据和表格， 计算的工作量较小，所以IIR滤波器的设计设计方法主要有经典设计法、直接设 计法和最大平滑滤波器设计方法。 本文中主要介绍经典方法设计IIR数字低通滤 波器。经典方法首先根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，

然后再将

设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。在对滤波器进行实 际设计时，整个过程的运算量是很大的。设计阶数较高的 更大，设计过程中改变参数或滤波器类型时都要重新计算。

利用MATLAB强大的计算功能进行计算机辅助设计，可以快速有效地设计 数字滤波器，大大地简化计算量。

MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它 的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。

工具箱提供了丰 IIR滤波器时，计算量

富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。 只要以正确的指标 参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使 用非常方便。

第二章IIR数字滤波器的设计

2.3数字滤波器的技术要求

滤波器的指标常常在频域给出。数字滤波器的频响特性函数 复函数，所以通常表示为

H(ej ) | H(ej )|ej ( }

H(ej ) 一般为

式(2-3)

其中，|H(ej )|称为幅频特性函数；()称为相频特性函数。幅频特性表示信号通 过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时 间上的延时情况。一般对IIR数字滤波器，通常只用幅频响应函数来描述设计指 标，相频特性一般不作要求。而对线性相位特性的滤波器，一般用FIR数字滤波 器设计实现。

IIR低通滤波器的幅度特性如图2-3所示

0.70?

图2-3低通滤波器的幅度特性

图中p , s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为0 在通带中，要求(1- J < H(ej ) 1;阻带频率范围为s

p

，在阻带中要

求H(ej ) 2 ;从p到s称为过渡带，一般是单调下降的。通带内允许的最衰 减与阻带内允许的最小衰减用 s表示。其中,

20lg 20lg

H(ej0) H(ej p)|

H(e0)

式(2-4)

式(2-5)

H(ej s)

将H(ej0)归一化为1时，式(2-4),式(2-5)可表示成

p

=-20lg| H(ejW)|dB

ps

式(2-6) 式(2-7)

s

=-20lg| H(ejw) |dB

当幅度降到.2 2时,

c

，此时，p=3dB,称c为3 dB通带截止频率。

c统称为边界频率。

2.4 IIR滤波器的特点

IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式(2-1)所示，由于它 的脉冲响应序列h(n)是无限长的，故称为无限脉冲响应滤波器。IIR滤波器系统 函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此可以用较低的阶数获得高选择 性，所用存储单元少，经济而效率高。但这些是以相位的非线性为代价的，选择 性越好，相位非线性越严重。

IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭式设计公式 可供准确计算，计算工作量比较小，而计算工具要求不高。

2.6原型模拟滤波器

本节主要介绍常用的低通原型模拟滤波器的主要特点

，包括巴特沃斯滤波

器、切比雪夫I型滤波器、切比雪夫u型滤波器、椭圆滤波器、贝赛尔滤波器。 各类模拟滤器及数字滤波器可以通过这引起低通模拟原型滤波器变换得到。

2.6.1巴特沃斯滤波器

巴特沃斯Butterworth低通滤波器的平方幅度响应为

H(j )

2

式(2-18)

其中，n为滤波器的阶数，c为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些 特殊的性质：

① ② ③ ④ ⑤

对所有的n，都有当 =0时，H(j0)2 对所有的n，都有当 =c时，H(j J

2

1 ；

2

1/2；

H(j )是的单调递减函数，即不会出现幅度响应的起伏 ； 当n

时，巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器；

0，因此H(j )2在该

在=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于 点上取得最大值，且有最大平坦特性。

⑥

传递函数无零点，极点等距离分布在以丨s| =3 c为半径的圆周上。

2.4.8阶巴特茨斯低通诱液器平方幅频图

1

0.8

0.6

善

—0J

0 2

0 0

0.5

1 w/wc

1.5

图2-8 2，4，8阶巴特沃斯低通滤波器平方幅频图

图2-6展示了 2阶、4阶、8阶巴特沃斯低通滤波器的幅频特性。 可见阶数n 越高，其幅频特性越好，低频检测信号保真度越高。通带内具有最大平坦的幅频 特性，且随频率增大平滑单调下降；阶数 N越高，特性越接近矩形，过渡带宽 越窄。

2.6.2切比雪夫滤波器

切比雪夫(Chebyshev)滤波器有 ChebyshevI型和ChebyshevU型。 (1) ChebyshevI 型

ChebyshevI型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为

2

H(j ) A()

2 1

式(2-19)

1 CN

c

其中， 为小于是的正数，表示通带内幅值波纹情况；

为Chebyshev多项式阶数，CN / c为Chebyshev多项式，定义为

c

为截止频率；N

|x| 1