第 5 章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？
k 答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现
0
a
kk
k 时主元素
的情况，这时消去法无法进行；即
0
a
kk
，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
以保证计算的进行和计
误差的扩散， 最后也使得计算不准确。 因此高斯消去法需要选主元， 算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时， 择列主元消去法。
2、高斯消去法与 LU分解有什么关系？用它们解线性方程组
条件？
为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵
L。
可以不用选择主元。 计算时一般选
Ax = b 有何不同？ A 要满足什么
答：高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个 用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精 。度A 需要满足的条件是，顺序主子式（ 3、楚列斯基分解与 有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增 ，长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。 向量范数定义见p53，符合 3 个运算法则。 正定性 齐次性 三角不等式
切对角元素恒为正数， 因此， 是一个稳定的
1,2，? ，n-1）不为零。
L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具
LU 分解相比，有什么优点？
楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵
x设 为向量，则三种常用的向量范数为：
n
（第 3 章 p53,第 5 章 p165）
|| x ||
1
| x |
i
i 1
1
n
2 2
|| x || (
2
i 1
x )
i
|| x || max | xi |
1 i n
7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = (ai j )的三种范数 || A|| 1，|| A|| 2，||
∞，|| A|| 1 与|| A|| 2 哪个更容易计算？为什么？ A||
向量范数定义见 p162，需要满足四个条件。 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有
||A ||
1
|| A||
2
||A ||
从定义可知， ||A ||1
更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？ 答：设 A 为非奇异阵，称数
1
cond (A) v A
v
A
v
（ v 1,2,
）为矩阵 A 的条件数
当 cond(A) 1时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？ （1）矩阵行列式的值很小。 （2）矩阵的范数小。 （3）矩阵的范数大。 （4）矩阵的条件数小。 （5）矩阵的元素绝对值小。 接近奇异阵的有 （1）、（2）
注：矩阵的条件数小说明
A 是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。 10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵 A 非奇异，则用顺序消去法或直接 答：错误，主元位置可能为 答：正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。 答：正确。
（4）如果 A 非奇异，则 Ax = b 的解的个数是由右端向量
b 的决定的。
A 无解。
答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 （5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。 （6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。 答：正确。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
LU 分解可求得线性方程组
Ax = b的解。
0，导致无法计算结果。
答：错误， 可以不为 0。
∞ 。 （8）如果矩阵对称，则 || A|| 1 = || A||
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。 答：错误，不选主元时，可能除数为 （10）在求解非奇异性线性方程组时， 小。
答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
T || ∞ 。
（11）|| A || 1 = || A 答：根据范数的定义，正确。
（12）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则
0。
即使系数矩阵病态， 用列主元消去法产生的误差也很
cond( A) cond( A ) 。
答：正确。 A 是 n n 的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。
1
1
cond(A)
1
A
1
A
1
1
1
1
根据条件数的定义有：
cond(A ) A (A ) A A A A
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