归纳与类比-答案

归纳与类比

【答案】 1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.

8.

9.2010 10.

n

11.（n+1）（n+2）…（n+n）=2×1×3×…×（2n-1） 12.解：（1）∵数列{an}中，a1=1，当n≥2时，∴a2=

，a3=

，a4=

； （2）猜想an=

， ∴

=

+． ， ∴

=-=

，

． ；

，

∵当n≥2时，∴数列{

}是首项为1，公差为的等差数列， ∴=2；

， ∴an==

；

13.解：（1）

=

；猜想

（2）下面用数学归纳法证明： ①当n=1时 满足猜想； ②假设n=k时，则

=

，所以当n=k+1时，

综合①②

对n∈N成立．

*

成立，

==也成立；

=

【解析】

1. 解：由已知在平面几何中，

若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，

2

则AB=BD?BC，

我们可以类比这一性质，推理出：

若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足， 则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC． 故选A．

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何

2

中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB=BD?BC，我们可以类比这

2

一性质，推理出若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）=S△BOC．S△BDC 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 2. 解：根据题意，设第k个三角形的周长记为ak，（k=1、2、3、…）

∵△ABC周长为1，∴a1=1∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点 ∴第二个三角形的周长为a2=

a1=

a2=

，…第k个三角形的周长为ak=

，…

依此类推，第三个三角形的周长为a3=∴第2003个三角形周长为a2003=

．

故选C

根据题意，列出前几个三角形的周长，发现从第二项起，每个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半，由此进行归纳即可得到第2003个三角形的周长．

本题以三角形的周长规律为载体，考查了归纳推理的一般方法和等比数列的通项公式的知识，属于基础题．

3. 解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多

设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，

∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）-f（k）=k+1，

令k=1，2，3，…．n得f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n， 把这n-1个等式累加，得f（n）-f（1）=2+3+…+n=∴f（n）=2+

=

，

，

故选：D．

由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多，确定f（n）-f（n-1）=n，累加，即可求得f（n）的表达式．

本题考查合情推理，考查了分析问题和解决问题的能力，解题的关键是找出第k项和第k+1项之间的关系，再利用累加法求出f（n）的关系式． 4. 解：∵图（1）是边长为1的正方形，

∴a1=1，

结合勾股定理可得：a2=2， a3=3， a4=4，

…

归纳可得：an=n，（n∈N*）， 故a10=10，

故选：B

根据已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的{an}的通项公式，可得答案． 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 5. 解：观察已知中等式：

2

1=（2×1-1），

2

2+3+4=（2×2-1），

2

3+4+5+6+7=（2×3-1）， …，

2

则n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1） 故选：D．

根据已知中的等式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．

6. 解：∵数列{xn}满足x0=6，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），利用表格可得：

∴x1=f（x0）=f（6）=4，x2=f（x1）=f（4）=2，x3=f（x2）=f（2）=1，x4=f（x3）=f（1）=5，x5=f（x4）=f（5）=6，…， ∴xn+5=xn，

∴x2016=x403×5+1=x1=4．

故选：C．

数列{xn}满足x0=6，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），利用表格可得：x1，x2，x3，x4，x5，x6，…，于是得到xn+5=xn，进而得出答案．

本题考查了数列的周期性，数列的递推关系式的应用，属于中档题． 7. 解：∵在由平面图形到空间图形的类比推理中， 一般是由点的性质类比推理到线的性质， 由线的性质类比推理到面的性质， 由面积的性质类比推理到体积性质． 故由

（面积的性质）

结合图（2）可类比推理出： 体积关系：故答案为：

=

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．

类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 8. 解：由已知归纳可得，第n行的第一个数和最后一个数均为

，其它数字

等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，所以A（9，2）=A（8，1）+A（8，2）， A（8，2）=A（7，1）+A（7，2） A（7，2）=A（6，1）+A（6，2）， …

A（3，2）=A（2，1）+A（2，2），

∴A（9，2）=A（8，1）+A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（2，1）+A（2，2）=故答案为

+（．

，其它数字等于

+

+…+

）=

+2（

-）=

．

由已知中的数阵，可得第n行的第一个数和最后一个数均为

上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，结合裂项相消法，可得答案． 本题考查数列的递推关系式，以及归纳推理的应用，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 9. 解：根据题意得：

，

①×4-②×3得：-7b=7，即b=-1， 把b=-1代入①得：a=2，

则1*2=1×2-2×1+2010=2010，

故答案为：2010根据题中的新定义化简已知等式，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．

此题考查了进行简单的合情推理，弄清题中的新定义是解本题的关键． 10. 解：由题意可得：故答案为：

根据已知中x∈（0，+∞），观察下列式子：

，归纳可得．

本题考查归纳推理，解题的关键在于发现式中的规律，属于基础题． 11. 解：观察规律知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为（n+1），（n+n），右边为连

nn

续奇数之积乘以2，则第n个等式为：（n+1）（n+2）…（n+n）=2×1×3×…×（2n-1）．

n

故答案为：（n+1）（n+2）…（n+n）=2×1×3×…×（2n-1）． 观察规律知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为（n+1），（n+n），右边为连续奇数之

n

积乘以2，即可得出结论．

本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属基础题． 12.

；

，

，

；