《圆与方程》复习
【课时目标】
1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题． 2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用． 【知识梳理】
?? 其中 为圆心，r为半径.
1．圆的方程?②圆的一般方程：
?? 其中? >0?.
相交?d 径)?相离? ；??相切? . ①圆的标准方程： ， 2．直线与圆的位置关系的判定(d表示圆心到直线的距离，r表示圆半 3．圆与圆的位置关系(d表示两圆圆心距，R、r表示两圆半径且 ??外切?d＝R＋r； R≥r)?相交?R－r 内切?d＝R－r；??内含?d 【作业反馈】 外离?d>R＋r； 一、选择题 1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，5 C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，5 2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 3．直线x－3y＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( ) A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x2＋y2－18x＋45＝0相切，则直线l的方程是( ) A．4x－3y－6＝0 B．4x－3y－66＝0 C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0 第 1 页 共 5 页 D．4x－3y－15＝0 6．方程4－x2＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为( ) 53?3 ， B．?，＋∞? A．??124??4? 553 －∞，? D．?，? C．?12???124? 二、填空题 7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为23的直线方程为____________． 8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________． 9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________． 三、解答题 10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程． 11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)． (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程． 能力提升 12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值． 第 2 页 共 5 页 【归纳总结】 初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果． 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质： (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等． (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理． (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角． 《圆与方程》复习 答案 【知识梳理】 1．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (a，b) (2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F 2．d>r d＝r 【作业反馈】 1．D 2．B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝2，∴选B．] 3．C [直线旋转后为y＝3x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．] 39 y＋b?2＝a2＋b2． 4．D [圆的标准方程为(x－a)2＋??2?4 31b a，－b?．∴a<0，b>0．∴y＝－x－不过第四象限．] 圆心为?2??aa 5．C [设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．] 6．A [ 第 3 页 共 5 页 在同一平面直角坐标系中分别画出y＝4－x(就是x＋y2＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需kPA 3－0|－2k＋3|3 kPB＝＝，对于k(x－2)－y＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d＝r，即＝2－?－2?4k2＋1 22 5 2，解得kPA＝． 12 53?所以k的取值范围为??12，4?．] 7．x＝0或15x＋8y－32＝0 解析 设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直线方程为x＝0时，弦长为23符合题意； |k－0＋4|1522 当直线方程为kx－y＋4＝0时，d＝＝2－?3?＝1，解得k＝－，因此直线方程为 8k2＋1 15x＋8y－32＝0． 8．4 解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为?2＋1?2＋?3＋1?2－1＝4． 9．3或7 解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A∩B中有且仅有一个元素， ∴两圆x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切， O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r， 故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7． 10．解 设所求圆的圆心为O，则OA⊥l，又设直线OA与圆的另一交点为P．所以直线 2－633 OA的斜率为－．故直线OA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因为kAB＝ 445－3 1 ＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0． 2 ???3x＋4y－33＝0，?x＝7， 解方程组?得? ?x－2y－1＝0，?y＝3.?? 95，?， 即点P的坐标为(7,3)．因为圆心为AP的中点??2?5 半径为OA＝， 2 925y－?2＝． 故所求圆的标准方程为(x－5)2＋??2?4 11．(1)证明 把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0， ?x＋y－4＝0?x＝3?? 由方程组?，解得?， ??2x＋y－7＝0y＝1?? 所以直线l总过定点(3,1)． 圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圆C的圆心为(1,2)，半径为5． 定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为?3－1?2＋?1－2?2＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1) 第 4 页 共 5 页 的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交． (2)解 设直线与圆交于A、B两点．当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短． 因为|AB|＝2|BC|2－|CM|2 1 ＝225－[?3－1?2＋?1－2?2]＝220＝45，此时kAB＝－＝2，所以直线AB的方程为y kCM －1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0． 故直线l被圆C截得的弦长最小值为45，此时直线l的方程为2x－y－5＝0． 12．B 解析 视线即切线，切线与直线x＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆 3 的切线方程为y＝±(x＋1)．当x＝2时，y＝±3，所以a∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，故选 3 B． 13．解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下 11 方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB 22 也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达 |3×1＋4×1＋8| 一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝ 32＋42＝3， 从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22． 1 ∴(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝22． 2 方法二 利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则 |PC|＝?x－1?2＋?y－1?2，由勾股定理及|AC|＝1，得 1 |PA|＝|PC|2－|AC|2＝?x－1?2＋?y－1?2－1，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝ 2?x－1?2＋?y－1?2－1，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点 |3×1＋4×1＋8|2 C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝()＝9， 223＋4 ∴(S四边形PACB)min＝9－1＝22． 第 5 页 共 5 页
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