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专题13：空间的平行与垂直问题
班级 姓名
一、前测训练
1．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1．
A1 提示：法一：用线面平行的判定定理来证： A “平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形． “中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM． E法二：用面面平行的性质
取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1．
D C C1
B B1
2．已知底面为平行四边形的四棱锥S－ABCD中，P为SB中点，Q为AD上一点，若PQ∥面SDC， 求证AQ=QD． S 提示 取SC的中点E，证明四边形DQPE为平行四边形即可。
P
D C
Q A B
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C
(2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF
D1 C提示：(1)用面面平行的判定定理证：
证明BD∥B1D1，A1B∥D1C． A1 B1
(2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E． F·
E· D C
A B
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O⊥平面MBD
D1 C
提示：用线面垂直的判定定理：
A1 B1 证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O；
M 在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；也可以取BC中点E，连接OE、B1E，证明BM⊥平面A1B1EO，从而证得BM⊥A1O。
D C
O B A 拼搏的你，背影很美！
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5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥CD．
提示：取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE．
A D C
A1 B1
C1
B 6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC， CD的中点． 求证：平面PEF⊥平面PAC．
提示：设EF与AC交于点O，证EF⊥AC，EF⊥OP， P 从而得出EF⊥平面PAC． D C F E A B
7．直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。 证明：平面AEF?平面B1BCC1；
提示 首先证明AE?BB1，AE?BC，得到AE?平面B1BCC1，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF?平面B1BCC1
二、方法联想 1．证明线面平行
方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线．
P ①
P ①
② ③ ② ③
A
M B
④ N 或
④
N M A B
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方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．
A B
① ①
M ② N
方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平面ABC即为所要找的平行平面．
A B
① ②
C A’ C’
证明线线平行 方法1：利用中位线；
方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理； 方法5：利用线面平行性质定理；
方法6：利用线面垂直性质定理； 方法7：利用面面平行．
2．已知线面平行
方法 过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m． l
m
α
3．面面平行证明
方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．
注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行． 4．证明线面垂直
方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． 证明线线垂直
方法1：利用线面垂直；
方法2：利用线线平行； 方法3：利用勾股定理；
方法4：利用等腰三角形三线合一； 方法5：利用菱形对角线互相垂直； 方法6：利用四边形为矩形．
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5．构造垂面证线线垂直
要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:
如下图：①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l ，则l⊥面ABC．
A B
① ②
C
6．证明面面垂直
关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．
找垂线的一般方法：
（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；
（2）找（或做）两平面交线的垂线． 7．已知面面垂直
优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．
三、例题分析
例1：在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB．
(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：CE∥平面PAB．
证明：(1)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°， ∴AC＝2AB，又∵PA＝2AB，∴AC＝PA， ∵F为PC的中点，∴AF⊥PC；
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
B
C A F D
E
P
l
∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC， AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC， ∵PC?平面PAC，∴CD⊥PC，
∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC， ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．
(2)提示：
①中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CE∥PG． ②平行投影法：取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N． 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN．
③面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB．
【教学建议】
B
P
E
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