学科：奥数 教学内容：第7讲简单染色问题
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数学竞赛中的“染色”一般包括两个方面：染色问题和染色方法。如果染色作为题目的条件给出，那么一般要考虑的是存在与否，有何性质以及有多少种染法等，这就是染色问题。如果题目中没有提到染色，在解题中运用形象、直观的染色来进行分类，帮助解决问题这就是染色方法。
重点·难点
我们在前面几讲中也涉及到染色问题。一般来说，染色问题涉及分类、奇偶性、排列组合等多方面的知识。因此如何应用这些相关的知识点解题，是很关键的。在下面的例题中也可以看出，这些知识在解题中的应用。
学法指导
染色作为一种数学思维方法，可以用来推证说理，使一些难以讲清楚的问题一目了然。有时染色题可能很难想清楚，比如“四色问题”，但可以运用上面的知识点解决一些比较简单的染色问题。
经典例题
[例1]如图1所示，一个长方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？
思路剖析
由于A、B、C两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少A、B、C的颜色不能相同。但是，仅有3种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色。
解答
先考虑有最多相邻区域的A，染第1种颜色；其次考虑与A相邻的B、C、D、E中，有最多相邻区域的E，染第2种颜色；再考虑B，它与A、E都相邻，染第3种颜色。由C和E不相邻，故C可用第2种颜色，D与B不相邻，D可用第3种颜色，F和A不相邻，F可染第一种颜色。这样，用第一种颜色染在A和F上，用第二种颜色染在C和E上，用第三种颜色染在B和D上即可满足题意要求。
所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色。
[例2]用红、黄、蓝三种颜色涂一个正方体的六个面，两个面涂一种颜色，那么共有几种涂法？
思路剖析
本题要用到分类和组合的一些思想，同进，在解题时要注意，如果两种所谓不同涂法的正方体经翻转或旋转之后得到同样的效果，它只能是一种涂法。所以，我们可以取定一种颜色，就它所涂的两个面相对或相邻来分类。
解答
我们将染红的两个面分为相对和相邻的两种情形来考虑：（1）红色的两面相对，不妨设上面和下面是红色的，那么由于黄色的两面可以相对也可以相邻，并且一旦黄色的面确定后蓝色的面也随即确定。因此，这种情形有两种涂法。（2）红色的两面相邻，不妨设后面和下面是红色的，则黄色可相对为一种，蓝色可相对也为一种。若黄色的面相邻，可以有左面和上面两面的这一种（图2b），也可以有左面与前面两面的这一种（图2c），这两种是否可以经过翻转而重合呢？不行的。我们可将图2b的红色两面调换位置，使后面成为底面，底面成为后面，则图2b的黄色分别位于前面和右面，和图2c是不一样的，所以它们是两种不同的涂法。
综上所述，符合题意的染色法共有6种。
[例3]有一个7×7的棋盘，每一个小方格中有一只小甲虫，假定在同一时刻，所有的小甲虫都爬到相邻的格子中（横向或纵向的格，不能斜爬），问此时能否出现空格？
思路剖析
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