新《平面解析几何》专题解析(1)
一、选择题
1．已知mn?0，则方程是mx2?ny2?1与mx?ny2?0在同一坐标系内的图形可能是
( ）
A． B． C．
D．
【答案】A 【解析】
2方程mx?ny?0即y??2mx，表示抛物线，方程mx2?ny2?1?mn?0?表示椭圆或n22双曲线，当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx?ny?1?mn?0?表示椭圆，无符合条件的选项，当m和n异号时，抛物线y??2mx开口向右，方程mx2?ny2?1表示n双曲线，故选A.
x2y22．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的
ab圆交双曲线C于P,Q,M,N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为
（ ） A．2?2 【答案】D 【解析】 【分析】
设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出
B．2?2 C．2?2 D．2?2
?22?P?c,c?，将点P的坐标代入双曲线C的方程，即可求出双曲线C的离心率. ?2?2??【详解】
设双曲线C的焦距为2c?c?0?，设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点，
由双曲线的对称性可知，点P、Q关于y轴对称，P、M关于原点对称，P、N关于x轴对称，由于四边形PQMN为正方形，则直线PM的倾斜角为
?，可得4?22?P??2c,2c??， ??c2c2c2c2?1， 将点P的坐标代入双曲线C的方程得2?2?1，即2?222a2c?a??2a2be2e2??1，整理得e4?4e2?2?0， 设该双曲线的离心率为e?e?1?，则222?e?1?解得e2?2?2，因此，双曲线C的离心率为2?2. 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
x2y23．已知双曲线E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上
ab的一点，且|PF2?2PF1|.若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )
1A．y??x
3【答案】C 【解析】 【分析】
B．y??1x 2C．y??2x D．y??3x
△PF1F2的中位线，可得OM?a，在由双曲线定义得PF2?4a，PF1?2a，OM是
△OMF2中，利用余弦定理即可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P一定在左支上.
由PF2?2PF2?PF1?2a，得PF1及PF1?2a，PF2?4a， 再结合M为PF2的中点，得PF1?MF2?2a，
又因为OM是△PF1F2的中位线，又OM?a，且OM//PF1， 从而直线PF1与双曲线的左支只有一个交点.
222a?c?4a.——① 在△OMF2中cos?MOF2?2ac由tan?MOF2?ba，得cos?MOF2?. ——② acbc2由①②，解得2?5，即?2，则渐近线方程为y??2x.
aa故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
4．如图，O是坐标原点，过E(p,0)的直线分别交抛物线y2?2px(p?0)于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x?p相交于点N.则ME|?NE|?（ ）
22
A．2p 【答案】C 【解析】 【分析】
B．p2 C．2p2 D．4p2
过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B两点，不妨设直线AB为x＝p，分别求出M，N的坐标，即可求出答案． 【详解】
过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B，两点为任意的，不妨设直线
?y2?2pxAB为x＝p，由?，解得y＝±2p，
?x?p则A（p，﹣2p），B（p，2p），
∵直线BM的方程为y＝2x，直线AM的方程为y＝-2x， 解得M（﹣p，﹣2p），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2， 设过点M与此抛物线相切的直线为y+2p＝k（x+p），
?y2?2px?由?，消x整理可得ky2﹣2py﹣22p+2p2k＝0， ??y+2p=k?x?p?∴△＝4p2﹣4k（﹣22p+2p2k）＝0，
解得k＝2+2， 22+2（x+p）， 2
∴过点M与此抛物线相切的直线为y+2p＝
x?p??由?，解得N（p，2p）， 2+2?x?p??y+2p=2?∴|NE|2＝4p2，
∴|ME|2﹣|NE|2＝6p2﹣4p2＝2p2， 故选C． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
5．已知直线l:?2k?1?x??k?1?y?1?0?k?R?与圆?x?1???y?2??25交于A，
22B两点，则弦长AB的取值范围是（ ）
A．?4,10? 【答案】D 【解析】 【分析】
由直线?2k?1?x??k?1?y?1?0，得出直线恒过定点P?1,?2?，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线l:?2k?1?x??k?1?y?1?0?k?R?，可得k?2x?y??x?y?1?0，
B．3,5
??C．?8,10? D．?6,10?
?2x?y?0?x?1又由?，解得?，即直线恒过定点P?1,?2?，圆心C?1,2?，
x?y?1?0y??2???AB?22当CP?l时弦长最短，此时CP????r，解得ABmin?6，
?2?再由l经过圆心时弦长最长为直径2r?10， 所以弦长AB的取值范围是?6,10?. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
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